丘成桐院士演讲:漫谈微分几何

我为什么讲取材的问题呢?因为很多中学生或大学生在念几何或是某些数学课程的时候,认为我们念那个学科就念那个学科就够了,而不要念其它的学问,这是个很错误的观念。因为数学里面每一门的学问都有密切关联的,不单是数学,其实所有的理论科学中间都有很密切的关系。例如我们刚刚所讲的,高能物理与数学的关系,或是化学甚至生物都跟数学有很大的关系,所以我想怎么学几何呢?第一点是当你决定好要做一个好的几何学家时,你一定要广泛的学不同的学问,基础要比较广,如微分方程、代数、物理学以及其它学科,至少在心理上有个准备,就是说这些学科将来是对你有帮助的。你听起来会觉得这是很困难的事情,你不可能学会这么多种不同的学问。这主要的分别就是你要有一个层次,你的专科是那一方面,就要多学一点,但不可忘掉其它的学科。有时在某个意义下,我们可以很惊讶的看到同一个学问、同一个命题,在两个不同的学科里面,可以以不同的方法出现,就是说以不同的方法证明。我想主要的原因是根本上这两个学科的分别并不是很大。在几十年前有个出名的物理学家说数学有不可思议的力量。为什么数学能够在物理上有这么大的影响呢?因为从物理学家的看法,数学家只是在玩一些简单的符号,纯粹是在家里想一些自己的问题,与自然界的关系好像不大,其实这是个错误的想法。我们数学家研究的问题是很具体的,只是有不同的层次,所以有点不同而已。举例来说我们研究微分几何上一个最简单的图形-圆球,这圆球可以说是一个抽象的观念,我们也可以说它是自然界很具体的一部份。也就是说我们将所研究的圆球视为自然界的一部份,其实跟物理的现象差不了太远的。尤其在现代的高能物理里,我们研究基本粒子,尤其到了量子力学的观念以后,因为能量已经到了很高的地步,所以有很多根本没有办法做实验,所以基本上也是在家里或课堂里或办公室里用纸笔来算,这跟数学家想像的差不了太远。假如物理学家可以这么做,表示数学家也能够坐在家里面而对自然界达到某种程度的了解。

为什么我要讲这些呢?这些与微分几何有什么关系呢?我要讲的是你在选题的时候,我们虽然有个自由度对于选题与自然界无关,但是我们也有一个限度在里面,假如我们选的问题与现实相差太远,最后我们的命题会被淘汰掉。在历史上出现很多不同的研究,过了十年、二十年后就完全被淘汰的。你看现在的图书馆里面有许多的文章出现,不过再过个十年八年以后,我想大部份的文章是会被淘汰掉的,根本在整个数学历史上起不了任何作用。这是因为很多的文章实在没有解决问题,其次是对我们研究的对象没有产生任何效果。所以虽然我们数学界不用时间来做证明,可是我们有某种程度的测试。一般来讲,证的很好的数学,二十年或五十年内都可以看到它在现实里出现帮助。我们晓得在这个二十年以来,从前许多不重要的问题,在今日的工程上发生很大的影响。举例来讲,从前在数论里对于质数的搜查这个问题,这完全是一个无聊的命题。就是说一个很大的数,你怎么将它因子分解得很快。近十多年来,在国防科学上这问题变成一个重要的命题,有许多国防科学家在做这方面的研究,所以说数学上的选题很重要。为什么因子分解很重要呢?表面上看来跟真正的用途好像没有什么关联,可是它是一个很自然的问题,一个很大的整数它怎么分解,很快地,表面上并不重要,但可以帮助我们了解质数的分布情形,所以我说选题是一个很重要的问题。我记得从前我们在做大学生的时候,花了很多功夫去念一些文章与参考书,有些对数学来讲是很无意义的,可是反过来说因为花了很多功夫,所以可以了解到有些问题比较重要,有些问题比较不重要,所以花的功夫并没有白费。

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