丘成桐院士演讲:我研究数学的经验

所以说,动笔去做题目是很重要的,我们做大学生的时候还愿意做这个事,往往做研究生的时候,就以为了不起,毕业以后更不用讲,不会动手去写。一个题目在那里,我们很了不起地以为自己懂了,有些是很明显,但有些是似是而非,好像差不多了,事实上不是,里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做,当你在一门课里面,基本功夫搞得很清楚以后,你就发现书里面很多是错的。 在发现书本里的错误时,你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书,连本身的教科书也不看,很使人失望。做研究大家晓得,自己要去找自己的思路。单单上课听听,听完以后不看书,做几个习题就算了,怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样子走。

我做大学生刚开始第一年半的时候,因为刚开始将数学严格化,我觉得很高兴。因为从整个logic看去,可以一点一点地推导,从前有些几何或分析上的问题,我觉得可以慢慢将它连起来,我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢?我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来,能够做完它,你就觉得很高兴。你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个代数,我们须要研究的是什么事情?我们须要追求的是什么对象?我想去考虑这些事情其实并不会花你太多时间,可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可,就算很琐碎的事情你都要晓得以后,才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。

现在谈谈我个人的经验,我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮,我觉得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够,所以我将很多基本的问题连在一起,之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题,去想书本的方法能够有什么用处,是不是大部分平面几何上的问题都可以解决?我想找一些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中的时候想过一个问题,我发觉没有办法去解决它。花了很多工夫去想,看了很多课外的书来帮忙,最后很高兴地找到一个本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决,可以用代数的方法来证明。因为经过很多不同的想法,有半年的工夫,完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题,因此看到人家将这个问题解释清楚,就觉得很高兴;那时候是中学生,没有了解Galois理论,所以还是不太搞清楚是怎么证明的。可是我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为经过很长的思考,所以我开始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题或研究,我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉,也多看一些参考书,这对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的问题。这是一个工具,我们了解一下这整个方法的局限,对基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是一个工具,不是一个终点,是一个起步。基本功夫没搞清楚的话,没有办法去讲某个学问好,某个学问不好。

记得从前在香港念大学的时候,当时的环境比现在差得很多,图书馆根本没有什么书,也没有什么很好的导师,但是还是看了很多课外书,也看了很多文章。但现在看来浪费了很多精力,这是眼界太浅,坐井观天,不知数学的发展与方向的缘故。以后我到berkeley,也看了很多文章,得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富,一方面良师益友的交往,心中开始建立对数学的看法。我中学的时候,老师跟我们讲:好的书要看,不好的书也要看。数学里面不好的书我也看,你可能奇怪为什么不好的书我也看;我是觉得这样子,你一定要晓得什么是好的书,什么是不好的书,所以你看文章的时候,一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起的。有些作者,你晓得他的著作是了不起的可以多看,可是从不好的文章里面,你也可以看到许多现代的发展。因为有时候,从简单的写法里面,你反而看得比较容易一点,可是你一定要晓得他里面所讲的命题并不见得是有意思的,你一定要经过你自己大脑去搞清楚。可是他里面的组织往往是有的,普通水平的文章里面往往会引出有名的文章,也会介绍出有名的文章里面讲些什么事情,同时往往会写的比较容易看一点。因为它的水平比较低,它可以学一些大数学家的文章,你看了以后,很快就晓得怎么进出不同的地方,可以和好的文章比较。这是我自己的经验,你不一定要这样子做。我的建议是大部份的时间看大数学家的作品,小部份时间浏览一般作品,并做比较。

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