丘成桐院士演讲:几何学的未来发展

在研究这些结构时,我们要考虑它的模空间,一般来说,有意义的几何结构的模空间是有限维的. 同时在可能的情形下, 保持 Hausdorff 的性质. 在 Geometric invariant theory 的理论中, 引进了结构稳定的观念, 就是为了对付这个问题. 有时为了达到结构的稳定, 我们可能在原来的结构上再加其它新的构造.

二十多年前,我考虑 Calabi 猜测这个问题,解决了相当广泛的代数流形上的 Kahler Einstein 度量的存在性问题,这是重要的几何结构.当时我应用它得出代数流形的重要拓扑量的不等式,在差不多同时, 代数几何学家 Bogomolov 和 Miyaoka 利用代数稳定性理论亦可以得出类似的不等式,所 以 我 开 始 寻 找 代 数 流 形 稳 定 性 和 Kahler Einstein 度 量 的 关 系. 第 一 个 重 要 的 结 论 是Donaldson 在代数曲面和 Uhlenbeck 和我在一般复流形上的定理. 在 holomorphic vectorbundle 稳定的情形下, 我们证明它有 Hermitian Yang Mills 场, 这是一个很重要的结论, 无论在物理学上和在代数几何学上都有它的贡献. 以后李骏、郑方阳和我更利用这个定理用来解决一个重要的复曲面的问题. 因此我进一步猜测假如第一陈类可用 K?hler 的常数倍来表示, 则 K?hler- Einstein 度量的存在性和流形本身的稳定性等价, 在我的讨论班上, 这是一个主要的讨论项目. 我曾经提出一系列的研究这个问题的方法, 我的研究生例如田刚、罗华章等的博士论文都与这个问题有关, 但这个问题还待深入理解.

我认为几何稳定性理论除了对复几何外, 对一般非线性方程亦会有贡献. 我相信非线性微分方程, 几何稳定性和几何结构的交汇是一个很基本的问题, 在未来的几十年里将会有深入的互动, 更可以想象的是它跟物理学上的 renormalization flow 会有密切关系. 当结构稳定后, 我们希望将全部结构完成一个紧致空间, 因此要引进半稳定结构的观念, 而这些结构可以看做模空间的边界,也因此一般来说它们有奇异点,这种自然产生的奇异点是微分几何学里面重要的奇异点,在这些空间上, 研 究 它 们 的 几 何 结 构, 规 范 场 和 子 流 行 是很 有 意 思 的 事 情, 往 往 经 过 singularperturbation 后,我们对原来光滑的几何结构会有更深入的了解.

除了研究几何结构的模空间外, 还有规模场、子流形和全纯映射空间的模空间, 周炜良在代数子流形模空间上有伟大的贡献. 这些模空间的拓扑和陈氏类都是代数流形的重要不变量. 他们有重要的物理意义, Donaldson 的不变量是从规范场的模空间引出, 上述的弦理论在代数几何上的应用是从全纯映射的模空间得出, 如何暸解这些模空间的拓扑意义是极为重要的. 事实上, Donaldson 理论的一个重要起点在于 Hermitian Yang Mill 和 anti-self-dual connection 的等价性, 而后者在一般的四维流形亦可定义, 其模空间在 generic 的黎曼度量下最为清楚. 代数几何的工具可以计算 Donaldson 不变量. 而后者让 Donaldson 证明它是微分不变量. Donaldson 对这些模空间的了解是他的理论成功的一个原因.

代数几何学里一个最重要的问题乃是 Hodge猜测. 如何知道一个拓扑同调类可以由代数子流形来表示, 这是一个困扰了数学家大半世纪以上的问题, 它在数论上亦占一个重要地位, 在未来的世纪里它应该得到解决. 与此相关的一个极为重要的问题问:复的 vector bundle 在甚么流形下有全纯结构?及复流形什么时候存在可积的复结构?这都是极为重要的问题. 它们的模空间如何描述?Hodge 结构和 Torelli定理就是很重要的关键, 它在高维空间的推广和在 vector bundle 的意义是值得发展的方向.

弦理论引进了奇妙的对偶观念, 我们需要深入地了解其中的几何意义, 这些对偶将上述各种几何结构、规范场和子流形漂亮地连结起来而得到出乎意表的结果, 我们不可能漠视他们的重要性. 基本上, 几何学家应当有宏观的视野, 表面上不同的结构可藏有深入的联系.

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