Gronwall 不等式

定理 1 (Gronwall 不等式). 假设 $u,v:[a,b]\to\R$ 是连续函数, 且 $u\geq0$. 如果
\[
v(t)\leq C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s,\quad t\in [a,b],
\]
这里 $C$ 是一个常数, 那么
\[
v(t)\leq C\exp\left(
\int_a^t u(s)\rd s
\right).
\]

证明 . 令 $\alpha(t)=C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s$, $\beta(t)=C\exp\left(\int_a^t u(s)\rd s\right)$, 则 $\alpha(a)=C=\beta(a)$, 且$$\left(\frac{\alpha(t)}{\beta(t)}\right)^\prime=\frac{1}{\beta^2(t)}(\alpha^\prime\beta-\alpha\beta^\prime)=\frac{1}{\beta^2(t)}(u v \beta-\alpha\beta u )=\frac{u}{\beta}(v-\alpha),$$ 注意到 $v-\alpha\leq 0$ 以及 $\alpha(a)/\beta(a)=1$, 这样, 若$C>0$ 则 $\beta>0$, 从而 $\alpha/\beta\leq 1$, 即 $\alpha\leq\beta$; 若 $C<0$, 则 $\beta<0$, 从而 $\alpha/\beta\geq 1$, 故仍有 $\alpha\leq \beta$. 若 $C=0$, 则可令 $C_n=1/n$ 利用前面结果并令 $n\to\infty$ 得到 $v(t)\leq 0$.

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