两个实对称阵不能同时对角化的反例

在线性代数中, 一个熟知的事实是一个实对称阵和一个正定阵可以同时合同于对角型. 而最近有同学问我该结论能不能推广为两个实对称阵可以同时合同于对角型?

稍加分析可知, 这个问题举反例不是那么容易, 但是我在郭老师的线性代数[1]书上看到如下反例:
假设$A=\pmatrix{1&0\\0&-1}$, $B=\pmatrix{0&1\\1&0}$. 明显他们都是实对称的.
Continue Reading