Hilbert第四问题与射影平坦流形的分类

Hilbert度量[1]

在$\R^n$中一凸区域$\Omega$上, Hilbert定义了所谓的Hilbert度量:
\[
d_\Omega(x,y)=\frac{1}{2}\log[a,x,y,b]=\frac{1}{2}\log\frac{|y-a||x-b|}{|x-a||y-b|},\quad x,y\in\Omega,\: a,b\in\pt\Omega.
\]
特别地,
\[
(\Omega,d_\Omega)=\begin{cases}
\text{Minkowski geometry},&\Omega 中心对称\\
\text{Lobachevskii geometry},&\Omega是椭球\\
\text{hyperbolic geometry(Klein模型)},&\Omega是单位球B^n(1).
\end{cases}
\]

Hilbert第四问题

Hilbert第四问题是说:

问题 1. 求出$\Omega$上所有使得测地线是直线的度量. 这样的度量也称为是射影平坦的.

一个光滑的度量称为Finsler度量, 因此Hilbert第四问题的正则解就是寻找(局部)射影平坦的Finsler度量. 特别Hilbert度量是射影平坦的Finsler度量.

局部射影平坦流形的分类

回忆在黎曼几何中, 我们有

定理 1 (Beltrami). 一个黎曼流形是局部射影平坦的当且仅当它是常截面曲率的.

但是这对一般的Finsler度量不再成立. 对一般的射影平坦的Finsler度量进行分类还非常遥远, 目前我们一般都只在假设具有常旗曲率(射影平坦一定具有标量旗曲率, 记不依赖于旗杆, 只与点和方向有关)的条件下讨论. Z.Shen对(非正)常旗曲率的Randers度量进行了分类:
定理 2 (Shen1, 2003). 假设$F=\alpha+\beta$是一个Randers度量, 若它是局部射影平坦的且具有常旗曲率$K\leq0$, 则当$K=0$时, $F$是局部Minkowski度量, 当$K<0$时, $F$局部等距于广义Funk度量.

我们知道, 比Randers度量梢广一点的是$(\alpha,\beta)$度量. 关于射影平坦的$(\alpha,\beta)$度量的分类, 我们有
定理 3 (Li-shen2, 2007). 定义在$\mathcal{U}\subset\R^n$, $n\geq3$, 上的$(\alpha,\beta)$度量$F$是射影平坦且具有常旗曲率的只有如下三类:

  • $\alpha$是射影平坦的黎曼度量, 而$\beta$关于$\alpha$平行;
  • 当常旗曲率$K<0$时, $F=\sqrt{\alpha^2+k\beta^2}+\eps\beta$, 这里$\eps\neq0$, $k$都是常数;
  • 当常旗曲率$K=0$时, $F=\frac{\left(\sqrt{\alpha^2+k\beta^2}+\eps\beta\right)^2}{\sqrt{\alpha^2+k\beta^2}}$, 这里$\eps\neq0$, $k$都是常数.


此外, R. Bryant3对$S^n$上具有常旗曲率$K=1$的射影平坦Finsler度量进行了分类.
最近, 对具有良好对称性的Finsler度量, Mo-Huang也得到一些这方面的结果.
定义 4 (球对称度量). 假设$F$是$B^n(r)$上的一个Finsler度量, 如果
\[
F(Ax,Ay)=F(x,y),\quad\forall x\in B^n(r),\quad \forall y\in T_xB^n(r),\quad \forall A\in O(n),
\]
那么我们称$F$是一个球对称度量.

容易看出, 对称性将Finsler度量的”复杂度”降低了, 事实上, Huang-Mo在2013给出了球对称度量的一个刻画:
引理 5. $F$是$B^n(r)$上一个球对称度量当且仅当存在函数$\phi:[0,r)\times \R\to\R$使得
\[
F(x,y)=|y|\phi\left(|x|,\langle x,y\rangle/|y|\right),\quad x,y\in TB^n(r)\setminus\set{0}.
\]
由此可见所有的球对称度量都是广义$(\alpha,\beta)$度量,i.e., $F=\alpha\phi(\|\beta\|_\alpha,\beta/\alpha)$.

Hamel4在1903年给出了$\R^n$中局部凸区域上射影平坦的Finsler度量的刻画:
引理 6 (Hamel). 假设$\Omega\subset\R^n$是一个凸区域, 则$\Omega$上的Finsler度量$F$是射影平坦的当且仅当
\[
F_{x^jy^i}y^j=F_{x^i},
\]
这也等价于
\[
\frac{\pt}{\pt y^i}\left(\frac{\pt{F}}{\pt x^j}y^j\right)=\frac{\pt F}{\pt x^i}.
\]

利用这一刻画, 我们可得到球对称度量实射影平坦的方程:
引理 7. 假设$F=|y|\phi\left(|x|,\frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|}\right)$是$B^n(r)$上的球对称度量, 则$F$是射影平坦的当且仅当
\[
s\phi_{bs}+b\phi_{ss}-\phi_s=0.
\]

对非负常旗曲率且射影平坦的球对称度量的分类是由L. Zhou5完成的:
定理 8. 假设$F$是$B^n(r)$上一具有非负常旗曲率$K$的球对称度量, 若他还是射影平坦的, 则它只能是如下两类:

  • 当 $K>0$时, $F$是Bryant度量, 且其参数满足$p_1=p_2=\cdots=p_{n+1}$;
  • 当$K=0$是, $F$是Berwald度量.


而对负常旗曲率的球对称度量, 在射影平坦时, Mo得到如下结果:
定理 9. 假设$F$是$B^n(r)$上一具有负常旗曲率$K=-1$的球对称度量, 则$F$是射影平坦的, 当且仅当
\[
F=\frac{1}{2}\left(\theta_c(x,y)-\eps\theta_c(\eps x,y)\right),\quad\eps<1,
\]
其中$\theta_c$是严格凸域$B^n(\sqrt{c})$上的Funk度量.


Written with StackEdit.


  1. Shen, Zhongmin. “Projectively flat Finsler metrics of constant flag curvature.” Transactions of the American Mathematical Society 355.4 (2003): 1713-1728.
  2. Li, Benling, and Zhongmin Shen. “On a class of projectively flat Finsler metrics with constant flag curvature.” International Journal of Mathematics 18.07 (2007): 749-760.
  3. R. Bryant, Some remarks on Finsler manifolds with constant flag curvature, Houston J. of Math. 28(2002), 221-262.
  4. G. Hamel,Über die Geometrieen in denen die Geraden die Kürzestensind, Math. Ann. 57(1903), 231-264.
  5. Zhou, Linfeng. “Projective spherically symmetric Finsler metrics with constant flag curvature in R n.” Geometriae Dedicata 158.1 (2012): 353-364.

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