共形变换下曲率关系的活动标架计算方法

假设$(M,g)$是黎曼流形, 令$\tilde g=e^{2\phi} g$, 这里$\phi$是$M$上一个光滑函数. 这时称$(M,g)$与$(M,\tilde g)$共形.

我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系.

活动标架

为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设$\set{e_i}$是$(M,g)$的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$分别表示对应于$g,\tilde g$的黎曼联络, 相应的联络1形式记为$\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$. (回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$)

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活动标架的结构方程

假设$M$是一个黎曼流形, $\set{e_i}$是一个局部标架场, 其对偶标架场记为$\set{\omega^i}$. 则我们有如下的结构方程:
\[\begin{cases}
\rd \omega^i=-\omega^i_j\wedge\omega^j+\frac{1}{2}T_{kl}^i\omega^k\wedge\omega^l\\
\rd \omega^i_j=-\omega^i_k\wedge\omega^k_j+\Omega_j^i,
\end{cases}\]
其中$\omega^i_j$是联络1形式(回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i$.), $T_{kl}^i$是挠率张量的分量(回忆, 假设$M$是一个黎曼流形, $\nabla$是其上任一联络. 定义挠率张量$T$如下: $T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$, $X,Y\in\Gamma(TM)$, 这里$[X,Y]$是$X,Y$的李括号, 它把两个光滑向量场映射为一个光滑向量场, 其定义为$[X,Y]f=XYf-YXf$, 这里$f$为$M$上的光滑函数), 即$T(e_k,e_l)=T_{kl}^i e_i=\frac{1}{2}T_{pq}^i\omega^p\wedge\omega^q(e_k,e_l)e_i$, 这里规定$T_{pq}^i=-T^i_{qp}$.
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科大FTP的使用

当你做好自己的网页后(请重命名为index.html), 可以利用windows自带的FTP脚本上传到科大FTP. 从开始菜单->运行->CMD, 调出命令行编辑器.
常用命令如下:

  1. ftp 启动ftp脚本
  2. open home.ustc.edu.cn 打开科大FTP服务器, 这时当连接成功后会自动要求你输入用户名密码, 就是你网络通的账号和密码
  3. dir 列出服务器上当前目录下的所有文件的详细信息(与之类似的还有ls, 只列出文件名), 这时你会看到只有一个目录public_html
  4. cd public_html 进入public_html目录
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