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数学笔记

量子杨米尔斯理论

渐近自由, 以及在20世纪六七十年代发现的实验性和理论性的结果, 使得利用非交换规范理论来描述核力成为可能, 这时规范群是$G=SU(3)$. 辅助的场描述, 在经典水平, “夸克”是和电子类似的$1/2$自旋对象, 但作用在$SU(3)$的基本表示上. 强力的非交换规范场论又称为量子色动力学(QCD).

利用QCD来描述强力是20世纪六七十年代一系列实验与理论突破的结果. 同时还涉及强相互作用的对称性与高能态行为. 但是经典的非交换规范场论和现实世界观察到的强相互作用是很不同的; 为了使得QCD能够成功地描述强相互作用力, 它必须具备如下三条描述量子行为的基本性质, 它们每条都和经典理论的行为有很大不同:

  1. 它必须有”质量间隙”, 即存在常数$\Delta>0$, 使得每个真空中的激发态至少具有能量$\Delta$.
  2. 它必须有”夸克禁闭”现象, 即尽管该理论是由基本场来描述的, 例如夸克场, 但在$SU(3)$下的作用是非平凡的, 而物理粒子态, 例如质子, 中子和介子是$SU(3)$不变的.
  3. 它必须具备”手征对称破缺”, 这意味着真空只有在作用在夸克场的全对称群的子群下才是势不变的(在手征性的极限情形, 夸克本身的质量为零).

第一点是必要的, 它解释了核力是强力但是是短程的; 第二点解释了为什么夸克总是成对出现; 第三条也是必须的, 因为它解释了20世纪60年的发展的软$\pi$介子(soft pions)的”流代数”(current algebra)理论.

自20世纪七十年代以来的大量实验和电脑模拟7让人们非常坚信QCD具有以上三条性质. 这些性质也可以, 在某种程度上, 从各种非常复杂的模型(例如强耦合的格点规范理论8)的理论计算中推导出来. 但是, 从理论上, 它们还没有完全被理解; 即还没有一个令人信服的, 无论是从数学上完备的证明, 或者用理论计算来表明, 上面三条性质是必不可缺的.

探求数学的理解

待续…

参考文献


  1. C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance,
    Phys. Rev. 96 (1954), 191–195.
  2. L. O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997.
  3. Salam, Abdus. “Weak and electromagnetic interactions.” (1968): 367-377.
  4. Weimberg, S. “A Model of Leptons Phys.” Rev. Lett 19 (1967): 1264.
  5. Gross, David J., and Frank Wilczek. “Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories.” Physical Review Letters 30.26 (1973): 1343-1346.
  6. Politzer, H. David. “Reliable perturbative results for strong interactions?.” Physical Review Letters 30.26 (1973): 1346-1349.
  7. Creutz, Michael. “Monte Carlo study of quantized SU (2) gauge theory.” Physical Review D 21.8 (1980): 2308.
  8. Wilson, Kenneth G. “Quarks and strings on a lattice.” New phenomena in subnuclear physics. Springer US, 1977. 69-142.

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