丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
当时黎曼创做这个理论, 基本上是好奇. 因为他希望能够重新解释 Gauss 定理, 同时又将 Gauss 公式推导到高维空间去, 并解释了几个重要的观念, 例如欧氏几何里所谓平行公理的问题. 一直到十九世纪后期, 微分度量几何的发展跟理论物理关系并不大. 当年引进了很多不同的观念都是基于微分几何学家的好奇心. 他们发现很多欧氏空间上能够做的事情, 都有办法在黎曼流形上面做, 微分和积分的观念全部可以推导到流形上去, 到了十九世纪末叶他们已经将微分几何推广到抽象而完美的状态, 当时的推导是基于公式的简洁和优美. 1915 年, Einstein 引进广义相对论, 使黎曼几何得到进一步的改变.
黎曼几何在 Einstein 的广义相对论上有很大的贡献. 由于 Einstein 对微分几何不太了解的缘故, 刚开始推导出来的方程式是有缺陷的. 到数学家跟他合作以后, 他才推导出正确的方程, 对黎曼几何来说, 这是一个很大的鼓舞, 抽象的想法竟然得到物理学上的重要应用. 反过来说, 广义相对论成功以后, 对于黎曼几何的发展产生了很大的刺激, 整体微分几何跟广义相对论因此有着密切的关系. 在黎曼几何本身, 我们当然能够找到有意义和漂亮的问题, 可是有一些观念, 几何学家没法单凭几何直觉得出. 到了物理学家要追求一些实际的问题时候, 我们才了解它的重要性和解决它的可能性.
十多年前, 我跟一个朋友做一个广义相对论上的题目, 这是一个好几十年的老问题. 当时几何学家不太懂这个问题, 物理学家向我们解释清楚以后, 我们才知道, 它的特殊情形基本上是一个几何问题. 因此我们对它有很浓厚的兴趣. 我们将它用几何的方法解决以后, 才去处理物理学家要求的原始问题, 我们从古典几何的观念来看这个问题的一般情形时, 我们认为这是不可思议的. 事实上, 当我们将这个问题全部解决了以后, 一个很有名的几何学家还坚持这不可能是对的, 可以见到古典几何的直觉有一定的规限. 反过来说, 物理学家也有他们的规限, 例如刚才讲这个问题, 他们想了很久也没有办法解决, 而我们用几何的方法却将它解决了. 所以这是一个互补的情形, 有些命题在我们来说几乎是不可能对的, 物理学家却极力坚持, 认为物理的直观会遇到挑战, 所以我们愿意花很大的功夫去了解它. 假设当时物理学家没有极力坚持的话, 恐怕我们不可能花这么多时间去考虑它. 以后物理学家引进超引力的观念, 简化了上述问题的证明, 反过来对几何学有很大的帮助. Einstein 的引力理论给几何注进新的生命, 物理学和数学的交流至为重要, 这是几何发展的一部分, 这条路线会走下去, 这是无可置疑的.
未来半个世纪, 几何学家会解决从古典广义相对论里面出现的问题, 物理学家大概发觉这方面的数学问题有相当的困难性, 所以不大愿意做古典广义相对论的理论问题. 他们的兴趣是时空的量子化, 这当然是很重要的, 它是统一场论的最关键问题：也产生了很多有意义的几何问题, 例如熵的定义就是一个有挑战性的命题.
古典的 Einstein 方程是一个很漂亮的方程, 产生了很多重要而有意义的几何现象. 其中最重要的是时空的奇异点问题. 这几十年来数学家研究奇异点, 在代数几何方面有很长远的进步. 一个很出名的定理是Hironaka 的 Resolution of singularity, 这是三十年前做的, 与微分几何不同的地方是代数几何的奇异点是比较容易定义的. 因为代数流型是用一组多项式定义的, 流型本身可以定义奇异点. 代数几何学家有很有效的方法来瞭解奇异点的结构. 另一方面 Mather 和 Arnold等好几个数学家考虑了所谓平滑奇异点(smooth singularity)的问题；不一定由多项式定义, 而是由平滑函数（smooth function）定义. 他们引进了很多拓扑学的工具. 基本上的方法还是变成多项式的情形来解决. 可是这些方法对于时空的奇异点问题暂时没有帮助.
发表回复