量子杨米尔斯理论

经典的杨米尔斯方程可以看作是如下的Yang-Mills泛函的变分方程:

$$\begin{equation}\label{eq:1}
L=\frac{1}{4g^2}\int \tr F\wedge\ast F,
\end{equation}$$
其中$\tr$是$G$的李代数上的一个不变的二次型. Yang-Mills方程是非线性的, 这不同于Maxwell方程. 像重力场的Einstein方程一样, Yang-Mills方程只知道极少数、极少数的显示解. 但是杨米尔斯方程毕竟还是和Maxwell方程有共性: 特别是, 从他们都可以证明”无质量的波以光速传播”这一经典事实.

在20世纪50年代, 当Yang-Mills理论创立之前, 人们已经知道量子版本的Maxwell理论, 那时称之为量子电动力学或者QED, 它对电磁场与电磁力有准确的描述. 事实上, QED将早期量子理论的预测提示了好几个数量级, 而且还预测了新的跃迁能级.

因此, 很自然的问题是:是否非交换的规范理论能够描述自然界中其他的力, 特别是弱作用力(是放射性形成的原因之一) 以及强作用力或者核力 (是使得质子和中子形成原子核的原因之一). 经典Yang-Mills理论的零质量性是将其应用到其他力的主要障碍之一, 因为弱作用力和强作用力都是短程力而大量的粒子都是有质量的. 因此这些现象在描述无质量粒子的长程场时并不会出现.

在20世纪六七十年代, 物理学家克服了关于非交换群的规范场的物理解释这一物理障碍. 在弱作用力的情形, 这就是Glashow-Salam-Weinberg的电弱理论34(electroweak theory), 其规范群是$H=SU(2)\times U(1)$. 通过额外的加一个”Higgs场”来解决经典Yang-Mills波的零质量性. Higgs场作用于$H$的一个$2$维表示上; 它是非零的而且在真空态中趋于常值, 这时将结构群从$H$约化到$U(1)$的一个子群 (对角嵌入到$SU(2)\times U(1)$中). 这一理论以一种基本统一的方式描述了电磁力和弱作用力; 由于结构群约化为$U(1)$, 长程场只有电磁力, 正如我们在自然界观察到的那样.

关于强相互作用力的Yang-Mills零质量性的修正有着本质的不同. 这里的修正不是新加一个场到Yang-Mills场上, 而是发现了关于量子Yang-mills理论本身的一个重要性质, 即它的经典拉格朗日符号是有$\eqref{eq:1}$给出的. 这一性质称为”渐近自由”56. 初略来讲, 这意味着, 在短距离时, 场的量子行为和经典理论的量子行为类似, 但在长距离时, 经典的理论已经不足以引导这个场的量子行为了.