A Course in Minimal Surface
09/10/2013
参考教材:
1. Consequence of the first variation formulae
1.1. Variational formula
1.2. Laplacian
1.3. Coarea formula
1.4. Monotonically formula
1.5. Mean value inequality
2. The Theorem of Berstein
2.1. Logarithmic cutoff trick
The notes of 20130909
3. Strong Maximum Principle
平均曲率方程是一个拟线性的一致椭圆偏微分方程. 从而满足极值原理, 作为几何推论有
Corollary 1. 假设Σ1, Σ2是Rn中的无边界、完备、连通、极小超曲面, 若Σ1∩Σ2≠ϕ, 且Σ1完全位于Σ2的一边, 则Σ1=Σ2.
4. Second Variational formula and Stability
对于法向变分X=dFtdt|0,
我们有第二变分公式:
ddt|0vol(Ft(Σ))=−∫Σ⟨X,LX⟩,
其中L为Jacobi算子, 定义为:
LX=ΔNX+tr[RM(⋅,X)⋅]+˜A(x),
这里ΔN为法从上的Laplace, RM为M⊃Σ上的曲率张量, 而˜A为第二基本形式.
4.1. Stability 关于稳定性的一个关键概念是Σ上平凡法从的存在性. 这样的曲面可由第二变分公式得到一个不等式, 利用该不等式可以很容易地推出J. Simon 以及 Schone&Yau关于稳定性的结果.
4.2. A Characterization of Stability 用椭圆算子L的第一特征值可以刻画曲面的稳定性.
The notes of 20130916
4.3. Parabolic Manifold
Definition 2. Σ is called parabolic if any positive superharmoinc function on Σ is constant.
Proposition 3. Suppose that Σ is a complete surface with Area(BΣs)≤Cs2 for some constant C, then Σ is parabilic.
5. Local Examples of Multi-Valued graphs 5.1. Weierstrass Representation 给定一个区域Ω, 以及一个Ω上的亚纯函数g, 和一个Ω桑的全纯函数ϕ, 我们可以构造一个映射F:Ω→R3, 使得F(Ω)作为R3的子集是极小曲面. 其中F为
F(z)=Re∫ξ∈γz0,z(12(g−1(ξ)−g(ξ)),i2(g−1(ξ)+g(ξ)),1)ϕ(ξ)dξ
这里z0∈Ω为一固定点, 而γz0,z为连接z0, z的连续曲线. F就称为Weierstrass 表示.
5.2. Definition of Multi-valued graph 假设Dr={z∈C||z|<r}, P为C∖{0}的万有覆盖. 例如我们可以取P为有半开平面{(ρ,θ)|ρ>0,θ∈R}, 则映射π:P→C∖{0}, π(ρ,θ)=ρeiθ就是覆叠映射(无穷重的). 这里(ρ,θ)称为P的整体极坐标.
Definition 4. A n-valued graph on annulus Ds∖Dr⊂C∖{0} is a single valued graph of a fucntion u over {(ρ,θ)|r<ρ≤s,|θ|≤nπ}.
最简单的例子就是螺旋面. 它是无穷值的(极小)图.
利用Weierstrass 表示我们可以构造n值的极小图.
The notes of 20130923
6. Curvature Estimate
6.1. Simon’s inequality
Theorem 5. Suppose Σn−1 be a minimal surface in Rn. Then we have Simon’s inequality:
Δ2|A|2≥−2|A|4+2(1+2n−1))|∇Σ|A||2.
Δ2|A|2≥−2|A|4+2(1+2n−1))|∇Σ|A||2.
李安民, 陈青证明了2(1+2n−1))是最佳常数.
Remark 1. 特别, 当n=2时, Simon’s 不等式变为:
ΔΣ|A|2=−2|A|4+4|∇Σ|A||2.
ΔΣ|A|2=−2|A|4+4|∇Σ|A||2.
6.2. small energy curvature estimates
- Choi-Schoen关于具有”小”全曲率的极小曲面的曲率内估计.
- Heinz 关于完全极小图的曲率估计.
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