[Lecture notes]Introduction to Lie Group

李群导引 Lecturer: Li Zuoqin 2013/09/10 $\require{AMScd} $ 老师自己的笔记. 1. Introduction 请考虑如下问题:

Notes 20130910. 2. Smooth manifolds 2.1. Definitions 2.2. Examples 2.3. Some special functions 2.4. Partition of unit 2.5. Volume form Notes 20130913. 2.6. Tangert vectors and cotangent vectors 2.7. Smooth vector fields 2.8. Geometrical and dynamical properties 积分曲线的局部存在唯一性导出向量场诱导的流可看成单参数变换群(局部). 在这个流的观点下, 可以将李导数$[X,Y]$看作向量场$Y$沿着向量场$X$生成的流的微分. Notes 20130917. 3. Smooth Manifolds 3.1. How to find Submanifolds immersion and submersion and embedding 3.2. Distribution 向量场的高维推广. 可积性条件(李括号封闭) Notes 20130922 4. Lie Groups 4.1. Definiton and Examples 李群的基本定义及例子. 李群的同态为群同态的光滑映射. 4.2. Lie algebra associated to Lie group 由$L_a:G\to G$, $L_a(b)=ab$ 定义的是一个微分同胚, 其切映射可以诱导从$T_eG$到$G$上全体左不变向量场的线性同构. 而左不变向量场关于李括号是封闭的. 因此它关于李括号积是一个李代数.

李群的同态与李代数的同态有密切关系:

这里$\rd\phi$是$\rd\phi_e:T_eG\to T_eH$在$\mathsf{g}$, $\mathsf{h}$上的诱导. Notes 20130924.

5. One paramenter subgroup 左不变向量场的积分曲线就是单参数变换群. 从李代数回到李群: **指数映射**. 其定义为, 对任给的一个$x\in\g$, 我们考虑由$x$生成的左不变向量场生成的积分曲线(即由$x$生成的单参数变换群)$\phi_x(t)$, 规定$\exp:\g\to G$, $\exp(x)=\phi_x(1)$.

指数映射是**局部微分同胚**:

指数映射是**自然的**(natural): 这样我们对李代数有三种描述:

• 左不变向量场在李括号下形成的代数.
• $\g=T_eG$, $[x,y]:=\ad(x)y$, 其中$x,y\in\g$, 而$\ad$为$\g$的**伴随表示**.

首先, 对任意的$g\in G$, 我们有**共轭**:$c(g):G\to G$, $a\mapsto gag^{-1}$. 我们定义其微分$\rd c(g)|_e:T_eG\to T_eG$为$\Ad_g$, 它是线性映射(自同态). 这样, 我们可以定义$\Ad:G\to\End(\g)$, 它是群$G$的伴随表示. 注意到$\Ad(e)=\id$, 因此 $$(\rd\Ad)|_e:\g\cong T_eG\to T_{\id}(\End(\g))\cong\End(\g),$$ 我们的$\ad=[\rd(\Ad)]_e$称为李代数$\g$的伴随表示. 利用指数映射的自然性, 我们特别有: \begin{CD} G@>\Ad>>\End(\g) @A\exp AA @AA\exp A \g@>\ad>>\End(\g). \end{CD} 即$\Ad(\exp(x))=\exp(\ad(x))$.

• $\g$为$G$的所有单参数子群全体, 而括号运算定义为:

$$ [\phi_x,\phi_y]:=\left.\frac{\pt}{\pt t}\right|_{t=0} \left.\frac{\pt}{\pt t}\right|_{s=0}(\phi_x(t)\phi_y(s)\phi_x(-t)). $$ 这里, $x,y\in T_eG$, 而$\phi_x$, $\phi_y$分别为$x,y$生成的单参数子群.

Notes 20130927. 5.1. General Linear Group 一般线性群是一个李群, 其李代数就是所有$n\times n$的方阵组成的线性空间(同构于$\R^{n^2}$). 为了计算其李代数, 只需注意到左作用就是矩阵的左乘法, 而且流形的坐标就是矩阵的各个元素$A_{ij}$. 这样我们有$\pt_{ij}A_{rs}=\delta_{ir}\delta_{js}$. 可以计算得: $$ [A,B]=AB-BA. $$ 关于一般线性群的指数映射: 可以证明, 指数映射就是将函数$e^x$作taylor展开, 然后将矩阵代入展开式($e^{A}$称为矩阵$A$的指数), 事实上只需验证$e^{tA}$是单参数变换群即可. 利用指数映射(单参数变换群), 我们可以很方便的求得一般线性群的李代数$\gl(n,\R)$: \begin{align*} [A,B]&=\left.\frac{\pt^2}{\pt s\pt t}\right|_{s=0=t}e^{tA}e^{sB}e^{-tA} &=\left.\frac{\pt}{\pt t}\right|_{t=0}e^{tA}Be^{-tA} &=AB-BA. \end{align*} 利用这个办法, 可以很方便的求一般线性群的子群的李代数.

Notes 20130929. 5.2. Commutation of $G$ V.S. Lie algebra Abel李群的李代数是平凡的. 反之也对.

明显, 当$\g$交换时, 我们有$\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$.

为了考察一般地$\exp(x)\exp(y)$与$\exp(x+y)$相差多少, 我们需要用到李群上光滑函数的Taylor展开式. 这样可以证明在局部有, $$ \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y+\frac{1}{2}[x,y]+O(|x|^2,|y|^2)),\forall x,y\in\g. $$ 更精确的, 我们有Baker-Campbell-Hausdorff公式: $$ \exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y)), $$ 其中 $$ \mu(x,y)=x+y+\sum_{m\geq 2}P_m(x,y), $$ $p_m(x,y)$是$m$次多项式.

而更近一步地, Dykin把$\mu(x,y)$的具体公式写出来了: \begin{align*} \mu(x,y)&=x+y &\quad+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}\sum_{\substack{l_1,\ldots,l_k\geq0 m_1,\ldots,m_k\geq0 l_i+m_i>0}}\frac{(-1)^{\sum\limits_i l_i+m_i}}{1+\sum\limits_il_i}\left[\prod_{j=1}^k\frac{(\ad y)^{l_j}}{l_j!}\frac{(\ad x)^{m_j}}{m_j!}\right](y). \end{align*} Notes 20131008. Dykin公式的证明.

Notes 20131011.

6. 李子群的李代数刻画 Notes 20131015. 7. Cartan定理

Notes 20131018. 8. Lie的三大基本定理 Notes 20131022. 9. 群在流形上的作用 向量场与李代数的无穷小作用相对应.

Notes 20131029.