\u5728\u66f2\u7387\u6d41\u7684\u5b66\u4e60\u4e2d, \u6211\u4eec\u65f6\u5e38\u4f1a\u78b0\u5230\u5bf9\u4e00\u4e2a\u5f20\u91cf\u5b9a\u4e49\u5176\u6a21\u957f. \u8fd9\u5f53\u7136\u662f\u81ea\u7136\u7684\u4e00\u4ef6\u4e8b\u60c5, \u56e0\u4e3a\u5f20\u91cf\u7a7a\u95f4\u672c\u8eab\u4e5f\u662f\u4e00\u4e2a\u5185\u79ef\u7a7a\u95f4. \u4ece\u800c\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u8981\u9002\u5f53\u7684\u5904\u7406\u5f20\u91cf\u8fd0\u7b97\u4e0e\u5185\u79ef\u8fd0\u7b97\u7684\u5173\u7cfb\u5373\u53ef. \u4f8b\u5982\u5173\u4e8e$(p,0)$-\u578b\u5f20\u91cf\u7a7a\u95f4, \u4e00\u79cd\u5e38\u89c1\u7684\u65b9\u5f0f\u662f:
\n\u5047\u8bbe$(V,\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle)$\u662f\u4e00\u4e2a(\u5b9e)\u5185\u79ef\u7a7a\u95f4, $\\otimes_p V=V\\otimes V\\otimes\\cdots\\otimes V$, \u8fd9\u91cc\u6709$p$\u4e2a$V$. \u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u81ea\u7136\u5730\u5b9a\u4e49$\\otimes_p V$\u4e0a\u7684\u5185\u79ef\u5982\u4e0b
\n\\[
\n\\langle v_1\\otimes v_2\\otimes\\cdots\\otimes v_p, w_1\\otimes w_2\\otimes\\cdots\\otimes w_p\\rangle
\n=\\sum_{i=1}^p \\langle v_i,w_i\\rangle.
\n\\]
\n\u5bb9\u6613\u9a8c\u8bc1, \u5982\u4e0a\u5b9a\u4e49\u7684\u786e\u5b9e\u662f$\\otimes_pV$\u4e0a\u4e00\u5185\u79ef.
\n\u4e00\u4e2a\u81ea\u7136\u7684\u60f3\u6cd5\u662f\u5982\u4f55\u5c06\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u4e49\u63a8\u5e7f\u5230\u4e00\u822c\u7684$(p,q)$-\u578b\u5f20\u91cf\u7a7a\u95f4$\\otimes_p^q V=V\\otimes\\cdots\\otimes V\\otimes V^\\ast\\otimes\\cdots\\otimes V^\\ast$, \u8fd9\u91cc\u6709$p$\u4e2a$V$, $q$\u4e2a$V^\\ast$, \u5176\u4e2d$V^\\ast$\u8868\u793a$V$\u7684\u5bf9\u5076\u7a7a\u95f4.
\n\u4e0d\u96be\u770b\u51fa, \u5b9a\u4e49$(p,q)$-\u578b\u5f20\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u5185\u79ef, \u5173\u952e\u5728\u4e8e\u5982\u4f55\u901a\u8fc7$V$\u7684\u5185\u79ef\u81ea\u7136\u5730\u5b9a\u4e49\u5176\u5bf9\u5076\u7a7a\u95f4\u7684\u5185\u79ef. \u4e0b\u9762\u6211\u4eec\u7740\u624b\u5904\u7406\u8fd9\u4ef6\u4e8b:
\n\u4e00\u4e2a\u89c2\u5bdf\u662f$V$\u4e0a\u7684\u5185\u79ef$\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle$\u5176\u5b9e\u662f\u4e00\u4e2a$V\\times V\\to\\R$\u7684\u53cc\u7ebf\u6027\u6620\u5c04, \u4ece\u800c\u5b83\u53ef\u4ee5\u81ea\u7136\u5730\u8bf1\u5bfc$V\\to V^\\ast$\u7684\u4e00\u4e2a\u6620\u5c04$A$\u5982\u4e0b:
\n\\[
\nA(v)w=\\langle v,w\\rangle,
\n\\]
\n\u5229\u7528\u5185\u79ef\u7684\u53cc\u7ebf\u6027\u6027, \u5bb9\u6613\u9a8c\u8bc1$A$\u7684\u786e\u662f$V\\to V^\\ast$\u7684\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u6620\u5c04. \u4e8b\u5b9e\u4e0a, $A$\u8fd8\u662f\u4e00\u4e2a\u53cc\u5c04. \u4e3a\u6b64, \u7531\u4e8e$V$\u662f\u6709\u9650\u7ef4\u7684, \u6211\u4eec\u77e5\u9053, \u53ea\u9700\u8bc1\u660e$A$\u662f\u5355\u5c04\u5373\u53ef(\u8fd9\u65f6$A$\u7684\u8868\u793a\u77e9\u9635\u662f\u5217\u6ee1\u79e9\u7684, \u4ece\u800c\u4e5f\u4f7f\u884c\u6ee1\u79e9\u7684, \u5373\u4e5f\u662f\u6ee1\u5c04). \u5355\u5c04\u7684\u8bc1\u660e\u662f\u7b80\u5355\u7684: \u5982\u679c$A(v_1)=A(v_2)$, \u90a3\u4e48\u5bf9\u4efb\u610f\u7684$v\\in V$, \u90fd\u6709$A(v_1)v=A(v_2)v$, \u8fd9\u5373\u662f\u8bf4$\\langle v_1-v_2,v\\rangle=0$, \u4ece\u800c$v_1=v_2$.
\n\u73b0\u5728, \u7531\u4e8e$A\\mathpunct{:}V\\to V^\\ast$\u662f\u4e00\u4e2a\u53cc\u5c04, \u6211\u4eec\u81ea\u7136\u7684\u5c06$V$\u7684\u5185\u79ef\u8bf1\u5bfc\u5230$V^\\ast$\u4e0a.\u8fd9\u91cc, \u81ea\u7136\u7684\u610f\u601d\u5c31\u662f\u8981\u6c42$A$\u662f\u4e00\u4e2a\u7b49\u8ddd. \u4e8e\u662f, \u6211\u4eec\u5b9a\u4e49$V^\\ast$\u4e0a\u7684\u5185\u79ef\u5982\u4e0b:
\n\\[
\n\\langle Av_1,A v_2\\rangle=\\langle v_1,v_2\\rangle.
\n\\]
\n\u7531\u4e8e$A$\u662f\u6ee1\u7684\u7ebf\u6027\u6620\u5c04, \u5bb9\u6613\u9a8c\u8bc1\u4e0a\u8ff0\u5b9a\u4e49\u662f\u826f\u597d\u7684.
\n\u6700\u540e, \u6211\u4eec\u5e0c\u671b\u627e\u51fa$V^\\ast$\u7684\u5bf9\u5076\u57fa\u4e0b\u8be5\u5185\u79ef\u7684\u8868\u793a\u77e9\u9635.
\n\u5177\u4f53\u800c\u8a00, \u5047\u8bbe$\\xi_1,\\ldots,\\xi_n$\u662f$V$\u7684\u4e00\u4e2a\u57fa, \u800c$\\xi’_1,\\ldots,\\xi’_n$\u4e3a\u5176\u5bf9\u5076\u57fa, \u5373$\\xi’_i(\\xi_j)=\\delta_{ij}$. \u5047\u8bbe$V$\u7684\u5185\u79ef\u5728\u57fa$\\set{\\xi_i}_{i=1}^n$\u4e0b\u7684\u8868\u793a\u77e9\u9635\u662f$(g_{ij})$, \u8fd9\u91cc$g_{ij}=\\langle \\xi_i,\\xi_j\\rangle$, \u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u5e0c\u671b\u627e\u5230$\\langle \\xi’_i,\\xi’_j\\rangle$\u4e0e$(g_{ij})$\u7684\u5173\u7cfb, \u6211\u4eec\u5c06\u8bc1\u660e\u5b83\u4eec\u662f\u4e92\u9006\u7684.
\n\u4e8b\u5b9e\u4e0a, \u7531\u4e8e\u6211\u4eec\u5bf9$V^\\ast$\u5185\u79ef\u7684\u5b9a\u4e49\u662f\u901a\u8fc7$A$\u4f5c\u4e3a\u6865\u6881\u6765\u5b9e\u73b0\u7684, \u4ece\u800c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u627e\u5230\u57fa$\\set{A\\xi_i}_{i=1}^n$\u4e0e$\\set{\\xi’_i}_{i=1}^n$\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb. \u4e3a\u6b64\u5047\u8bbe$\\xi’_i=a_{ij}A(\\xi_j)$, \u90a3\u4e48
\n\\[
\n\\delta_{ik}=\\xi’_i(\\xi_k)=a_{ij}A(\\xi_j)\\xi_k=a_{ij}\\langle\\xi_j,\\xi_k\\rangle=a_{ij}g_{jk},
\n\\]
\n\u56e0\u6b64, $a_{ij}=g^{ij}$, \u8fd9\u91cc$(g^{ij})$\u662f$(g_{ij})$\u7684\u9006\u77e9\u9635.
\n\u6700\u540e,
\n\\begin{align*}
\n\\langle \\xi’_i,\\xi’_j\\rangle&=\\langle a_{ik}A(\\xi_k),a_{jl}A(\\xi_l)\\rangle
\n= a_{ik}a_{jl}\\langle A(\\xi_k),A(\\xi_l)\\rangle\\\\
\n&=a_{ik}a_{jl}\\langle \\xi_k,\\xi_l\\rangle
\n=a_{ik}a_{jl}g_{kl}=g^{ij}.
\n\\end{align*}
\n\u81f3\u6b64, \u6211\u4eec\u5df2\u7ecf\u5b8c\u6210\u4e86\u8bc1\u660e.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
\u5728\u66f2\u7387\u6d41\u7684\u5b66\u4e60\u4e2d, \u6211\u4eec\u65f6\u5e38\u4f1a\u78b0\u5230\u5bf9\u4e00\u4e2a\u5f20\u91cf\u5b9a\u4e49\u5176\u6a21\u957f. \u8fd9\u5f53\u7136\u662f\u81ea\u7136\u7684\u4e00\u4ef6\u4e8b\u60c5 …<\/p>\n