\\begin{prop}\u5047\u8bbe$u$\u662f\u65b9\u7a0b
\n$$
\n0=\\Delta u-\\frac{1}{2}x\\cdot \\nabla u.
\n$$
\n\u7684\u5149\u6ed1\u89e3, \u5219\u6211\u4eec\u6709\u5982\u4e0b\u7684\u80fd\u91cf\u4e0d\u7b49\u5f0f:
\n$$\\begin{equation}
\n\\int_{|x|< r}e^{-\\frac{|x|^2}{4}}|\\nabla u|^2\\rd x\\leq\\frac{c}{r^2}\\int_{r< |x|< 2r}e^{-\\frac{|x|^2}{4}}u^2\\rd x,\\quad\\forall r >0.
\n\\end{equation}$$
\n\\end{prop}
\n\\begin{proof}\u5047\u8bbe$\\xi$\u662f\u652f\u5728$|x|<2$\u7684\u622a\u65ad\u51fd\u6570, \u4e14$\\xi\\equiv1$, $\\forall |x|<1$. \u5728\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u540c\u4e58$\\phi\\in C_0^\\infty$, \u5206\u90e8\u79ef\u5206\u6709
\n$$
\n0=\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}\\nabla u\\cdot\\nabla\\phi\\rd x,
\n$$
\n\u7279\u522b, \u4ee4$\\phi=\\xi u$,
\n$$\\begin{align*}
\n0&=\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}(|\\nabla u|^2\\xi+u\\nabla u\\cdot\\nabla \\xi)\\rd x\\\\
\n &=\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}\\left(|\\nabla u|^2\\xi+|\\nabla u|\\xi^{\\frac{1}{2}}\\cdot \\frac{u \\nabla \\xi}{\\xi^{\\frac{1}{2}}}\\right)\\\\
\n &\\geq \\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}\\left(
\n |\\nabla u|^2\\xi-\\frac{1}{2}|\\nabla u|^2\\xi-\\frac{1}{2}u^2\\frac{|\\nabla \\xi|^2}{\\xi}
\n \\right)\\\\
\n &= \\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}\\left(
\n \\frac{1}{2}|\\nabla u|^2\\xi-\\frac{1}{2}u^2\\frac{|\\nabla\\xi|^2}{\\xi}
\n \\right),
\n\\end{align*}$$
\n\u73b0\u5728, \u4ee4$\\eta=\\xi^2$, \u5229\u7528\u4e0a\u5f0f, \u6709
\n$$\\begin{align*}
\n\\int_{|x| < r} e^{-\\frac{|x|^2}{4}}|\\nabla u|^2&\\leq\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}\\eta|\\nabla u|^2\\rd x\\leq\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}u^2\\frac{|\\nabla\\eta|^2}{\\eta}\\\\
\n&=4\\int e^{-\\frac{|x|^2}{4}}u^2|\\nabla\\xi|^2\\\\
\n&\\leq\\frac{C}{r^2}\\int_{r < |x| < 2r} e^{-\\frac{|x|^2}{4}}u^2\\rd x.
\n\\end{align*}$$
\n\u6700\u540e\u4e00\u6b65, \u6211\u4eec\u5229\u7528\u4e86\u622a\u65ad\u51fd\u6570\u7684\u6027\u8d28.
\n\\end{proof}
\n\u975e\u5e38\u611f\u8c22\u8001\u5e08\u63d0\u4f9b\u7684\u8bc1\u660e.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
\\begin{prop}\u5047\u8bbe$u$\u662f\u65b9\u7a0b $$ 0=\\Delta u-\\frac …<\/p>\n