[Lecture notes]A Course in Minimal Surface

A Course in Minimal Surface 09/10/2013 参考教材:

1. Consequence of the first variation formulae 1.1. Variational formula 1.2. Laplacian 1.3. Coarea formula 1.4. Monotonically formula 1.5. Mean value inequality 2. The Theorem of Berstein 2.1. Logarithmic cutoff trick The notes of 20130909
3. Strong Maximum Principle

平均曲率方程是一个拟线性的一致椭圆偏微分方程. 从而满足极值原理, 作为几何推论有

推论 1. 假设$\Sigma_1$, $\Sigma_2$是$\R^n$中的无边界、完备、连通、极小超曲面, 若$\Sigma_1\cap\Sigma_2\neq\phi$, 且$\Sigma_1$完全位于$\Sigma_2$的一边, 则$\Sigma_1=\Sigma_2$.

4. Second Variational formula and Stability

对于法向变分$$X=\left.\frac{\rd F_t}{\rd t}\right|_0,$$我们有第二变分公式:
$$
\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_0 \vol(F_t(\Sigma))=-\int_\Sigma\langle X,LX\rangle,
$$
其中$L$为Jacobi算子, 定义为:
$$
LX=\Delta^N X+\tr[R^M(\cdot,X)\cdot]+\tilde{A}(x),
$$
这里$\Delta^N$为法从上的Laplace, $R^M$为$M\supset\Sigma$上的曲率张量, 而$\tilde{A}$为第二基本形式.
4.1. Stability 关于稳定性的一个关键概念是$\Sigma$上平凡法从的存在性. 这样的曲面可由第二变分公式得到一个不等式, 利用该不等式可以很容易地推出J. Simon 以及 Schone&Yau关于稳定性的结果.
4.2. A Characterization of Stability 用椭圆算子$L$的第一特征值可以刻画曲面的稳定性.
The notes of 20130916
4.3. Parabolic Manifold

定义 2. $\Sigma$ is called parabolic if any positive superharmoinc function on $\Sigma$ is constant.

命题 3. Suppose that $\Sigma$ is a complete surface with $\text{Area}(B_s^\Sigma)\leq C s^2$ for some constant $C$, then $\Sigma$ is parabilic.

5. Local Examples of Multi-Valued graphs 5.1. Weierstrass Representation 给定一个区域$\Omega$, 以及一个$\Omega$上的亚纯函数$g$, 和一个$\Omega$桑的全纯函数$\phi$, 我们可以构造一个映射$F:\Omega\to\R^3$, 使得$F(\Omega)$作为$\R^3$的子集是极小曲面. 其中$F$为
$$
F(z)=\mathrm{Re}\int_{\xi\in\gamma_{z_0},z}\left(
\frac{1}{2}\left(g^{-1}(\xi)-g(\xi)\right),
\frac{i}{2}\left(g^{-1}(\xi)+g(\xi)\right),
1
\right)\phi(\xi)\rd\xi
$$
这里$z_0\in\Omega$为一固定点, 而$\gamma_{z_0,z}$为连接$z_0$, $z$的连续曲线. $F$就称为Weierstrass 表示.
5.2. Definition of Multi-valued graph 假设$D_r=\set{z\in\C||z|< r }$, $P$为$\C\setminus\set{0}$的万有覆盖. 例如我们可以取$P$为有半开平面$\set{(\rho,\theta)|\rho > 0,\theta\in\R}$, 则映射$\pi:P\to\C\setminus\set{0}$, $\pi(\rho,\theta)=\rho e^{i\theta}$就是覆叠映射(无穷重的). 这里$(\rho,\theta)$称为$P$的整体极坐标.
定义 4. A $n$-valued graph on annulus $D_s\setminus D_r\subset\C\setminus\set{0}$ is a single valued graph of a fucntion $u$ over $\set{(\rho,\theta)|r< \rho\leq s,|\theta|\leq n\pi}$.

最简单的例子就是螺旋面. 它是无穷值的(极小)图.

利用Weierstrass 表示我们可以构造$n$值的极小图.

The notes of 20130923
6. Curvature Estimate 6.1. Simon’s inequality

定理 5. Suppose $\Sigma^{n-1}$ be a minimal surface in $\R^n$. Then we have Simon’s inequality:
$$
\Delta^2|A|^2\geq-2|A|^4+2\left(1+\frac{2}{n-1})\right)|\nabla^\Sigma|A||^2.
$$

李安民, 陈青证明了$2\left(1+\frac{2}{n-1})\right)$是最佳常数.
注记 1. 特别, 当$n=2$时, Simon’s 不等式变为:
$$
\Delta^\Sigma|A|^2=-2|A|^4+4|\nabla\Sigma|A||^2.
$$

6.2. small energy curvature estimates
  • Choi-Schoen关于具有”小”全曲率的极小曲面的曲率内估计.
  • Heinz 关于完全极小图的曲率估计.
The notes of 20130930

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