Proposition 1. 假设$u$是方程
$$
0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u.
$$
的光滑解, 则我们有如下的能量不等式:
$$\begin{equation}
\int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0.
\end{equation}$$
Continue Reading
$$
0=\Delta u-\frac{1}{2}x\cdot \nabla u.
$$
的光滑解, 则我们有如下的能量不等式:
$$\begin{equation}
\int_{|x|< r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2\rd x\leq\frac{c}{r^2}\int_{r< |x|< 2r}e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x,\quad\forall r >0.
\end{equation}$$