Hilbert第四问题与射影平坦流形的分类

Hilbert度量[1]

在$\R^n$中一凸区域$\Omega$上, Hilbert定义了所谓的Hilbert度量:
\[
d_\Omega(x,y)=\frac{1}{2}\log[a,x,y,b]=\frac{1}{2}\log\frac{|y-a||x-b|}{|x-a||y-b|},\quad x,y\in\Omega,\: a,b\in\pt\Omega.
\]
特别地,
\[
(\Omega,d_\Omega)=\begin{cases}
\text{Minkowski geometry},&\Omega 中心对称\\
\text{Lobachevskii geometry},&\Omega是椭球\\
\text{hyperbolic geometry(Klein模型)},&\Omega是单位球B^n(1).
\end{cases}
\]
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