期中考试
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- 假设$X,Y\in \R^n$, $\nabla$ 是标准欧氏度量下的Levi-Civita联络, 试求$\nabla_XY$ (用其分量表示), 并证明$\nabla$是$\R^n$中唯一一个平行的线性联络.
- 假设$(M^n,g)$和$(N^n,h)$是两个黎曼流形, 其曲率张量分别记为$R_M$, $R_N$. 证明对任一等距$f:M\to N$, 都有
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\langle R_N(\rd f(X),\rd f(Y))\rd f(Z),\rd f(W)\rangle_h=\langle R_M(X,Y)Z,W\rangle_g.
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- 叙述定义: 凸集, 均衡集, 有界集, 吸收集, 谱.
- 设 $\beta$ 为拓扑向量空间 $X$ 的局部基, 则 $\beta$ 中的每一元都包含某一个元的闭包.
- 设 $X$ 为无穷维拓扑向量空间, 它是可数多个有限维子空间的并, 证明: $X$ 在自身是第一纲集.
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- 证明有限循环群的自同构群是交换群.
- 证明36阶群有非平凡正规子群.
- 证明 $J_p$ 是域当且仅当 $p$ 是素数.
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