Hilbert第四问题与射影平坦流形的分类

Hilbert度量[1]

在$\R^n$中一凸区域$\Omega$上, Hilbert定义了所谓的Hilbert度量:
\[
d_\Omega(x,y)=\frac{1}{2}\log[a,x,y,b]=\frac{1}{2}\log\frac{|y-a||x-b|}{|x-a||y-b|},\quad x,y\in\Omega,\: a,b\in\pt\Omega.
\]
特别地,
\[
(\Omega,d_\Omega)=\begin{cases}
\text{Minkowski geometry},&\Omega 中心对称\\
\text{Lobachevskii geometry},&\Omega是椭球\\
\text{hyperbolic geometry(Klein模型)},&\Omega是单位球B^n(1).
\end{cases}
\]
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2维Randers度量的张量刻画

关于Finsler几何一个熟知的结果是Matsumoto及其学生Hōjō给出的在$n\geq3$的Finsler流形上度量是Rander’s度量的刻画:

定理 1 (M. Matsumoto & S. Hōjō,1978). Let $F$ be a Minkowski norm on a vector space $V$ of dimension $n \geq3$. The Matsumoto torsion $M= 0$ if and only if $F$ is a Randers norm.

最近, L, Mo and L-B, Huang(c.f.Mo&Huang2010)得到一个刻画2维Finsler曲面上其Finsler度量为Rander’s度量的张量$\chi$. Continue Reading