期中考试1
-
- 假设$X,Y\in \R^n$, $\nabla$ 是标准欧氏度量下的Levi-Civita联络, 试求$\nabla_XY$ (用其分量表示), 并证明$\nabla$是$\R^n$中唯一一个平行的线性联络.
- 假设$(M^n,g)$和$(N^n,h)$是两个黎曼流形, 其曲率张量分别记为$R_M$, $R_N$. 证明对任一等距$f:M\to N$, 都有
\[
\langle R_N(\rd f(X),\rd f(Y))\rd f(Z),\rd f(W)\rangle_h=\langle R_M(X,Y)Z,W\rangle_g.
\] Continue Reading