常曲率Randers度量的分类

我们知道, 在黎曼几何中, 关于常截面曲率的完备黎曼流形(即空间形式)的分类已经完全解决:

定理 1. 对每个$c\in\R$以及所有的$n\in\Z^+$, 都存在唯一的(只相差一个等距)的单连通的$n$为空间形式, 使得其常截面曲率为$c$.

证明 . c.f. [伍鸿熙1989] P70 Thm1 与 P97 Thm10.

2004年, D, Bao, C, Robles & Z, Shen 证明了关于常旗曲率的Randers度量的分类定理, 证明主要依赖于如下结果:
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2维Randers度量的张量刻画

关于Finsler几何一个熟知的结果是Matsumoto及其学生Hōjō给出的在$n\geq3$的Finsler流形上度量是Rander’s度量的刻画:

定理 1 (M. Matsumoto & S. Hōjō,1978). Let $F$ be a Minkowski norm on a vector space $V$ of dimension $n \geq3$. The Matsumoto torsion $M= 0$ if and only if $F$ is a Randers norm.

最近, L, Mo and L-B, Huang(c.f.Mo&Huang2010)得到一个刻画2维Finsler曲面上其Finsler度量为Rander’s度量的张量$\chi$. Continue Reading