中考测试题

满分100分，时间2小时

1. (5′) 正五边形广场ABCDE的边长为80m，甲、乙两个同学做游戏，分别从A、C两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A的方向绕广场行走，甲的速度为50m/min，乙的速度为46m/min，则两人第一次刚走到同一条边上时，甲在顶点（ ）处。
2. (8′, 湖北武汉2019). 已知$AB$是圆$O$的直径，$AM$和$BN$是圆$O$的两条切线，$DC$与圆$O$相切于点$E$，分别交$AM$、$BN$于$D$、$C$两点.
   (1). 求证$AB^2=4AD\cdot BC$;
   (2). 连接$OE$并延长交$AM$于$F$，连接$CF$. 若$\angle ADE=2\angle OFC$，$AD=1$, 求图中阴影部分的面积.
   

   

3. (14′, 广州2019) 假设等边三角形$\Delta ABC$中， $AB=6$，$D$在$BC$上，$BD=4$. 点$E$为边$AC$上一动点（不与$C$重合），三角形$\Delta CDE$关于$DE$的轴对称图形为$\Delta FDE$.
   (1) 当点$F$在$AC$上时，求证: $DF//AB$;
   (2) 设$\Delta ACD$的面积为$S_1$, $\Delta ABF$的面积为$S_2$, 记$S=S_1-S_2$， 问$S$是否存在最大值？若存在，求出该最大值，否则说明理由。
   (3) 当$B$、$F$、$E$三点共线时，求$AE$的长。
   

   

   
   

4. (10′, 湖北荆门2019）已知$ABCD$是正方形，点$E$是$AB$上的动点，作等腰直角三角形$FEC$，其中$\angle E$为直角。
   （1）过$F$作$AD$的垂线，垂足为$G$。试问$FG$是否总等于$AG$? 说明理由；
   （2）连接$FC$并设其中点为$H$，试问$HD=HG$是否总成立？说明理由。

   

5. (12’，湖北荆门2019). 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$顶点为$(2,-1)$且经过点$(0,3)$. 假设它与直线$y=x-1$交与点$A$、$B$.
   （1) 求抛物线的解析式
   （2) 若在抛物线上恰好只有三点$Q$、$M$、$N$使得$S_{\Delta QAB}=S_{\Delta MAB}=S_{\Delta NAB}=S$, 求$S$的值；
   （3) 在$A$、$B$之间的抛物线弧上是否存在点$P$满足$\angle APB=90^\circ$? 若存在求出$P$的横坐标，否则请说明理由。（回忆，坐标平面内两点$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$之间的距离为
   $\overline{MN}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. ）

   

6. (13′, 江苏泰安2019)若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$、$y$轴分别交于点$A(3,0)$、$B(0,-2)$且过点$C(2,-2)$.
   (1) 求二次函数的表达式；
   (2) 若点$P$为抛物线上第一象限内的点，且$S_{\Delta PBA}=4$, 求$P$的坐标；
   (3) 在抛物线上（$AB$下方）是否存在点$M$，使得$\angle ABO=\angle ABM$? 若存在求出$M$到$y$轴到距离，否则说明理由。

   

7. (14′, 广州2019）已知抛物线$G: y=mx^2-2mx-3$有最低点.
   (1) 求二次函数$y=mx^2-2mx-3$的最小值（用含$m$的式子表示）；
   (2) 将抛物线$G$向右平移$m$个单位得到抛物线$G_1$, 经探究发现，随着$m$的变化，抛物线$G_1$的顶点之纵坐标$y$与横坐标$x$之间存在一个函数关系，试求这个函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围。
   (3) 记（2）中所求得得函数为$H$， 抛物线$G$与$H$的图像交于点$P$， 结合图像求点$P$的纵坐标的取值范围。
8. (12′, 成都2019) 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-2,5)$, 与$x$轴交于点$B(-1,0)$, $C(3,0)$.
   (1) 求抛物线的函数表达式；
   (2) 点$D$在抛物线的对称轴上，且位于$x$轴的上方，将$\Delta BCD$沿直线$BD$翻折得到$\Delta BC’D$, 若点$C’$恰好落在抛物线的对称轴上，求点$C’$和点$D$的坐标；
   (3) 设$P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点$Q$在抛物线的对称轴上，当$\Delta CPQ$为等边三角形时，求直线$BP$的函数表达式。

   

9. (12′, 武汉2019) 已知抛物线$C_1: y=(x-1)^2-4$和$C_2:y=x^2$
   (1) 如何将抛物线$C_1$平移得到抛物线$C_2$ ?
   (2) 如果抛物线$C_1$与$x$正半轴交于点$A$， 经过点$A$的直线$y=-\frac{4}{3} x+b$交抛物线$C_1$于另一点$B$. 试在线段$AB$上求点$P$，使得过点$P$作直线$PQ//y$轴交抛物线$C_1$于点$Q$:
   (a) 若$AP=AQ$，求点$P$的横坐标；
   (b) 若$PA=PQ$，直接写出点$P$的横坐标；
   (3) $\Delta MNE$的顶点$M$、$N$在抛物线$C_2$上，点$M$在点$N$右边，有两条直线$ME$、$NE$于抛物线$C_2$都有唯一公共点，$ME$、$NE$均与$y$轴不平行。若三角形$\Delta MNE$的面积为2, 设$M$、$N$两点的横坐标分别为$m$、$n$，求$m$于$n$的数量关系。

   

   

   

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