丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
从古至今大家都讲美, 但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美. 最重要的观念只有一个, 就是简洁 simplicity. 这往往是我们审美的一个主要标准. 在做几何、做数学、做物理的研究时, 我们都在描述一个很复杂的几何现象. 假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话, 我们不算有一个好的定理或者好的文章. 用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象, 在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程. 当时有很多定理, 从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象, 但是没有办法有系统地放在一起. 欧氏很重要的贡献, 就是能够将定理统一起来, 用公理来解释所有当时发现的定理. 例如两点之间可以用唯一的直线连接起来这个事实, 可以推导出很多定理. 追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象, 是几何学家的目标. 物理学也是一样, 物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述.从前中国也发展了平面几何, 可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论. 这是中国数学不如西方数学的一个原因. 公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象, 也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象.
我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多, 阿基米得和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲面. 引进了微积分以后, 几何学有长足的进步, 我们开始知道直线或是圆以外的图形都可以用严格的数学来描述. 牛顿从物理的观点来看质点怎么变动成一条曲线, 从而发展了微积分. 几何学家发现描述几何图形非靠微积分不可, 几何学从希腊的公理化到牛顿的微积分是一个很大的进步.
古典力学无论在阿基米得, 牛顿或是现代, 对几何学的影响力都是很深远的. 它引进了变分法的观念, 例如我们研究一个简单的问题：两点之间最短的线是直线. 这是平面几何要求的. 可是假如中间有障碍, 就不再是一条直线, 并且最短的路径并不唯一. 这是简单的变分问题, 问两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形, 到现在为止还是微分几何的一个有趣问题. 我们知道在圆球上所有的测地线（geodesic）都是大圆. 假设我们将圆球变形一下, 变成凸曲面：convex surface, 这问题就变成一个很复杂的数学问题. 它的测地线分布状态并不明显, 到目前为止没有办法处理这个问题, 只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题. 古典力学帮忙我们发现很多不同的工具来解释测地线的问题.
到了二十世纪, 我们又发觉古典力学和量子力学有密切的关系. 一个重要的问题问, 当普朗克常数趋向于零的时候, 古典力学和量子力学中间的关系如何描述, 在这方面有很多重要的工作, 例如：WKB 的近似方法. 它在几何上产生了有趣的影响. 例如 Hamiltonian Mechanics 里面的 classical path 和光谱的关系, 引起了微分几何学家和微分方程学家企图联系 Laplace 算子的谱和测地线长度的工作. 古典力学通过 geodesic, 量子力学通过 Laplace 算子得到很多几何现象, 如何将他们联系是一个很有趣的几何问题. 我想这方面的研究会有很大的发展. 从古典力学到量子力学, 更进一步, 就是量子场论, 这里有无穷多个质点, 相空间变成无穷维空间. 由于在古典的量子力学里, 有限维流形上的谱分析和 classical path 有关,在无限维空间时, 我们就期望某种极小曲面和量子场论出现的 partition function 有关系. 在这方面, 弦理论已经得到相当大的进步. 可是物理学家讨论场论的时候, 遇到很多困难, 起源于无穷维流形算子的谱分析不知如何处理. 一个重要例子是 loop space, 这是将给定的流形上的所有封闭曲线放在一起的空间, 我们要寻求在它上面的谱分析, 这是一个很困难的问题. 量子场论还缺乏严格的数学基础. 用 Renormalization的方法, 出现很多无穷的 cancellation 问题. 在物理上出现的问题在数学上会更为困难. 因为物理学家愿意接受直观的证明的观念, 而数学家难以接受. 可是从量子力学, 量子场论推导出来的数学, 几何学家往往惊叹他们如魔术般的奇妙直觉（intuition）. 在有限维空间时, 由物理学引起的几何, 我们大致上都可以理解和证明. 可是在无穷维空间里面, 我们发觉古典几何学的直觉与真理有相当远的距离, 没有办法将有限维空间的想法简单地推导到无穷维空间几何上去. 这十五年来, 自从弦理论产生以后, 我们惊讶地发觉从物理直觉产生的几何结论往往是正确的.
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