丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
虽然量子场论本身的基础不够精确, 它的物理意义也不见得能够说服所有的物理学家, 可是得出来的几何结论即使不能以物理学的思维来严格证明, 却意义深厚且往往可以用不同的数学方法来验证. 现在举一个例子, 这是一个很深奥而古典的问题, 已经有一百多年的历史：一个五次方程, 它有五个变数, 这是中学生都看得懂的方程. 我们要解这个方程, 我们问一个很简单的问题, 假如要求寻找这个方程的函数解, 它是可以写成一个参数 t 的有理函数, 问这个方程有多少个这样的函数解. 这是一个很古典的问题, 跟 Fermat问题很相似. 我们的解可以分为不同的类别, 我们可以用 t 的阶数来将解分类, 一般来说解有无穷个. 可是我们可以问阶数等于一的时候有多少个解, 等于二时有多少个解. 古典的几何学家算出来阶数等于一的时候有 2875 个, 等于二的时候也可以算出来, 等于三是近几年才找出来的, 我们猜想它有无穷多个解, 阶数越大时解可能越多. 数学家没有办法解答这个问题, 连猜测都没有办法做. 这个问题在十年前, 用弦理论的镜对称猜测到一个公式, 来表达所有解的个数. 这个镜对称理论是十年前我的一个博士后研究员和在德州的一个教授跟他们的同事们建立的. 镜对称没有办法严格地去证明这个公式, 当时用古典方法一个一个地去检查, 发觉阶数小时公式基本上是对的. 可是这种检验不是公式的证明, 从量子场论得来的结果一般来说不能当作定理. 今年年初这个公式终于由刘克峰、连帮豪和我、以及俄国数学家Givental 用数学的方法给出严格的证明. 虽然最后的证明跟路径积分的想法无关, 但是得到这个公式的过程有很大的意义, 因为在量子场论找到这个公式以前, 数学家连怎样找这个公式都不知道. 等到这个公式找出来以后, 我们才有办法从公式本身去着想, 得到它的证明. 我为什么要讲这个问题呢？因为无穷维空间在物理上有许多直观的想法, 从数学的观点来看, 几乎是不可能接受的. 这种公式往往是从路径积分加上正规化的观念导出来的, 在严格上和直观上数学家都不能够接受, 但却得出正确的答案. 因此, 我们要追究物理学家在量子场论的直观是怎样训练出来的, 我们几何学家缺乏这方面的训练. 近十年来, 从量子场论得出来的重要观念, 解决了很多我们以前没有办法解决的问题, 可以看出古典力学、量子力学、量子场论对几何的影响是很深远的. 我想这个发展会继续下去, 二十一世纪的上半叶, 无穷维空间的几何要不断地受到量子场论的影响. 如果单从数学出发, 我们很容易地定义什么叫做无穷维空间上的几何, 可是往往没有办法得出任何有意义的结论. 这是因为几何学家对现代物理的观念搞得不清楚, 而无穷维的几何往往不是古典的直观可以得到的. 所以我们要接受从现代物理或其它自然界供给的观念. 这是一个很重要的交汇, 数学家自以为很漂亮的工具, 往往不能够解决任何问题. 假如物理上的直观可以代表真的话, 这种直观会成为几何学的骨干.
我刚才强调从物理得来的几何观念, 可是我们也应当知道几何或数学本身有他生存和美的意义, 也有生存和美的价值. 我们可以不受到客观世界的影响, 推导很多很漂亮的理论. 只要这个理论漂亮而同时能够解释很多几何上的现象的话, 他一定有存在的意义, 这是我们做数学的人相信的. 举个例子来说, 从牛顿以来, 古典力学对微分几何确有深远的影响. 到了十九世纪, Gauss 却有一个很重要的发现, 把牛顿以后的微分几何带进一个新的纪元. 这个定理引进所谓内在曲率的观念, 曲率的观念在 Gauss 以前就有了. 自微积分被创立以后, 我们就知道怎么处理二维的曲面,Euler 等很多重要的数学家在这方面有很大的贡献. 曲率测量二维曲面在三维空间里面的扭曲性, 一般来说有两个不同的方向, 一个得出 h, 另一方向得出 k, 它们的乘积 hk 定义为二维空间的 Gauss 曲率. Gauss 重要的贡献是发现 Gauss 曲率只跟曲面的本质计量（intrinsic metric）有关. 二维曲面变形时, 只要本质计量不变, 它的曲率就不变. 例如圆形柱中间切一条线以后, 张开来变成一个长方形. 这个过程并没有改变度量, 所以圆柱的曲率为零. Gauss 自己也认为这是一个很重要的发现. 发现的过程跟物理或其它的科学没有直接的关系, 大概跟测量地形有间接关系. 是 Gauss 经过很复杂的微积分计算, 发现出来的公式, 他发现曲率只跟本质计量有关. Gauss 的公式并不容易看得懂. 事实上, 用不适当的坐标表达的时候, 微分几何的公式可以变成很复杂, 但这也是微分几何漂亮的地方, 往往在选取好的坐标时可以得到很简单的公式. 目前在课堂上就可以很容易将Gauss 的公式写下来. 这是因为我们已经将 Gauss 的想法全部吸收而融会贯通的缘故. 有了Gauss 定理以后才有黎曼几何的发展. 黎曼根据 Gauss 的发现, 发觉我们可以推导一个全部本质的几何学（intrinsic geometry）. 我们只要知道两点之间的距离怎么度量, 就可以引进曲率的观念, 距离可以决定曲率, 这是黎曼几何一个重大的突破, 黎曼几何要求欧氏几何在一个无穷小的领域上成立, 然后推导了曲率及一系列微分几何上主要的观念.
发表回复