丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
研究一般性的奇异点, 无论在物理上、微分方程上或者几何上, 都是基本的问题, 这些研究正在萌芽, 可是对于真正了解它们还是相差很远. 例如在广义相对论里, 奇异点没有一个很好的定义. 我们知道奇异点是在时空的边界上, 跟我们现在所看到的 Minkowski 时空是不同的. 这是简单的事实, 它的局部性质跟一般时空不一样, 但我们不了解他们的内在结构, 连该问的问题我们都不太清楚, 真是一个很困扰的状况. 广义相对论的进步, 要依靠我们对微分方程的了解. 为什么呢？因为古典的广义相对论本身是由 Einstein 方程来决定的. 假如我们脱离了Einstein 方程, 得出来的结论只不过是一个抽象的架构, 不能够说符合广义相对论的要求. 不幸的是 Einstein 方程式是一个很复杂的非线性双曲线方程组. 我们对它的了解极为薄弱. 我们希望能够从 Einstein 方程得到时空的奇异点观念. 当 Cauchy problem 的初始值是光滑的时候, 时间向前走, 我们要问奇异点是怎样产生的. 了解了奇异点产生的机制, 我们才能了解奇异点的结构. 在广义相对论里, 有两个重要的奇异点：一个就是黑洞, 一个就是裸的奇异点(naked singularity). 这两个不同的奇异点有浓厚的物理意义, 我们期望从方程上能够了解他们. 当初始值光滑时, 这两种奇异点如何产生. 对一般的光滑初始值, 裸奇异点可否出现？这是古典相对论最重要的问题.
一般物理学家研究黑洞时, 用几个主要的解来解释它们的特性, 这就是 Schwarzschild 的解和 Kerr 的解, 可是这两个解不见得有一般性. 我们希望从微分方程或者几何的观点来了解这些一般解的性质. 例如证明星云毁减时, 时空会渐近一些基本解, 或者在这些解集合里跳跃, 也希望知道这些基本解奇异点的结构. 找出奇异点的结构, 不单对黑洞本身的了解有重要意义, 重力辐射(gravitation radiation)的问题也会得到帮助. 现在的观察仪器差不多可以观察到重力辐射. 可是从观察得到的数据的意义, 还不清楚. 因为无论从理论上或计算数学上, 我们都没有办法从 Einstein 方程里将辐射公式很透彻地瞭解. 这个问题跟奇异点应该有关, 在这几十年内希望能有很大的进展.
我们看到的几何现象都会有某种奇异点. 我们怎么去分类它？奇异点有不同的类型, 一种是人为的, 一种是自然的, 这两类奇异点我们都要去研究. 人为的奇异点在工程计算往往会出现, 而自然的奇异点则从物理方程可以推导出来.
Einstein 方程里边的奇异点是最困难的问题. 规范场的坐标没有选好也可以得出奇异点. Einstein 方程不单是一个最重要的非线性微分方程, 也影响时空的拓扑, 对微分几何学家来说是一个挑战, 因为奇异点可以将时空的拓扑吸取. 一般来说, 微分几何从几个背景来建立我们的理论, 拓扑结构就是最重要的背景. 当奇异点破坏了这个背景时, 我们有时会手足无措.
微分几何学家对拓扑学一直都很重视. 现在讲最近拓扑学的走向, 跟微分几何的关系. 微分几何跟拓扑学的密切关系可溯源至 Euler 公式和Poincare 天文物理的研究. 而复分析却是微分拓扑萌芽的一个关键. 它在十九世纪已经有很深入的发展, 不过很多自然的复函数有单值化的问题. 例如 log 函数在平面上有 branch cut, 所以复数分析要处理这个问题. 从此处可以引出 monodromy 群对同调群的作用和整体拓扑学的一个发展, 其实 monodromy 群可以看作规范场理论的一部分. 用 monodromy 群来控制整体几何和代数系统仍然是一个蓬勃的方向, 通过群表示理论, 它在几何学里起着很大的功用. 由复分析理论引出黎曼曲面的理论, 可以说是近代拓扑的第一块基石, 我们开始研究外微分形式的周期问题, 例如 dlog 可以在 C{0}上定义而且在任何绕零的闭曲线有同样的周期, 这影响了 de Rham 定理的发现. 拓扑学和复数分析结合起来以后产生了复几何. 高维空间复流形和代数几何的发展息息相关, homology 的观念和代数 Cycle 的理论相关而互相辅导, Lefschetz Pencil 和 Morse 理论的发展也是互助的. 二十世纪初期对流体方程和电磁方程的研究, 使得几何学家引进了 Hodge 理论, 以后的 Yang-Mills 理论源于高能物理方程, 却可以看成为非交换的 Hodge 理论. 为了解如何处理整体微分几何的问题, Cartan,Whitney 等引进了很多重要的观念, 其中纤维束和特征类是其中最重要的.这几个观念影响了二十世纪整个数学的发展, 包括了微分几何、代数几何、代数和数论. Whitney 考虑了 tangent bundle,normal bundle 和一般的 vector bundle 的观念.Vector bundle 在 Whitney 手上变成拓扑学里面一个最重要的工具. 他考虑了 Classifying space 的观念并研究 Grassmanian 空间及它的同调群, 因此引进了特征类. 他的乘积公式影响至今. Pontryagin 和陈省身更进一步考虑实数和复数空间的特征类.
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