丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
Pontryagin Class 和 Chern Class 都可以用曲率表示, 他们代表了大范围的拓扑学观念, 而曲率是一个局部的观念, 这两个观念结合起来以后, 我们就可以将局部的微分几何跟大范围的拓扑比较. 微分几何从古至今都期望从局部的结构来了解大范围的几何结构, 这也是物理学家的期望, 他们希望由微小的粒子理论和微分方程来推导宇宙的结构, 可见物理学家跟几何学家有很多共同的想法. 也因此我们都想了解奇异点的局部结构.
决定了流形的结构后, 我们要研究它上面的规范场, 由不同的 vector bundle 可以得到不同的 Yang-Mills 场. Grothendick 建议将所有 vector bundle 放在一起, 然后做简单的等价和加法就得到所谓 K 群的观念, 这是几何学很重要的不变量, Atiyah 和 Bott 利用它解决了多个重要的问题, 对时空的结构本身有基本的贡献. 通过特征类, 我们可以得到由K 群到同调群的一个很重要的映射, 这映射与 Riemann-Roch 定理有密切关系, 这定理可以解决代数流形上的存在性问题, 它能够计算代数方程的解. 从前 Riemann 跟 Roch 在一维情形下首先得到这个公式. 到了五十年代由于 Sheaf 理论和特征类的发展, Hirzebruch 成功地将它 推 广 到 高 维 空 间.这 可 以 说 是 本 世 纪 一 个 伟 大 的 定 理.
有 了 Riemann-Roch 定理, Atiyah-Singer 将它普遍化成 index theory. Atiyah-Singer 发觉 Riemann-Roch 定理不单在代数流形上成立, 同时也可以推广到一般流形上. 事实上这是椭圆微分算子指标的问题. 加上 Bochner 的消灭理论, Index 理论可以将椭圆算子的解的个数. 变成拓扑学上的算法. 这个发展对近代物理, 尤其是高能物理里的 anomoly 理论有很大的贡献.
Yang-Mills 理论在物理上有基本性的贡献. 在近代拓扑学上也是举足轻重的. 事实上数学家对规范场论的观念很早就有了. 从 Whitney 发展 vector bundle 理论后, 几何学家也考虑其上的联络和曲率, 但很奇怪的是他们没有发展 Yang-Mills 理论. Yang－Mills理论考虑规范场的曲率, 将它平方积分然后做变分得到 Yang-Mills 方程. 从前的几何学家对方程的兴趣不大, 有些古典几何学家认为只有工程师才会去解方程. 七十年代中叶才将Atiyah－Singer 的理论用到 Yang－Mills 理论上去, 得到长远的进步. 以后最出名的工作当然是Donaldson 的理论. 以前物理学家只讨论 上的规范场, 问 Yang-Mills 方程的解的维数有多少或者怎样去描述解的样子. 可是很少人问在一般的流形上, 我们怎么去解这个方程. Uhlenbeck 首先考虑一般空间上的规范场的性质, 而 Taubes 用 Singular perturbation 的方法 更 证 明 一 个 很 重 要 的 存 在 性 定 理.Donaldson 用了 Taubes 的存在 性 定 理 再 加 上Atiyah-Singer 的理论, 研究四维空间上 Yang－Mills 场的 moduli space, 他因此构造了四维拓扑学的不变量. 这是很重要的贡献, 他解决了四维空间里一个很重要的拓扑学问题. 这里可以看出来几何学家的走法和物理学家不一定相同, 物理学家当时只想解决 上面的问题. 可是我们基于好奇心, 发展了一套美丽的一般理论, 然后解决了拓扑学上重要的问题.
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