丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
Donaldson 的工作以后, Mrowka 和 Kronheimer 做了重要的贡献. 他们将 Donaldson 的多项式结构搞得很清楚, 引起了 Witten 的注意, Witten 企图要从量子场论来解释这个公式. 物理学家对 Donaldson 的不变量一直在注意, 可是始终没有办法将他解释得很清楚. 到了Kronheimer 和 Mrowka 将 这 个 公 式 搞 清 楚 了 以 后, Witten 才 用 路 径 积 分 的 方 法 来 了 解Donaldson 的不变量究竟在物理上是什么意义. 他与 Seiberg 用 supersymmetric Yang-Mills的想法, 得出所谓 Seiberg－Witten 不变量. 这两年来极为流行, 在代数拓扑、微分几何跟代数几何发展里面是一个很重要的工具. 很多 Donaldson 理论没有办法解决的问题, 例如 Thom猜测, 却可以用 Seiberg－Witten 的办法解决. Seiberg－Witten 不变量跟原来 Donaldson的不变量关系密切, 但有惊人的简化. Seiberg-Witten 方程是非线性U(1) gauge 方程 coupledwith spinor 得来的. Seiberg－Witten 理 论 的 最 重 要 的 定 理 是 Taubes 定理. 他证明Symplectic 流形的 Pseudo-holomorphic curve 的个数与 Seiberg-Witten 不变量基本等价,这是一个很深入的存在性定理,对四维的 Symplectic 流形有深刻的贡献,解决了很多古老的唯 一 性 问 题.究 竟 Taubes 定理 在 高 维 空 间 有 没 有 好 的 推 广 仍 然 悬 而 未 决.一 般 来 说,Symplectic 空间的自构群是无限维的,所以椭圆形方程方法比较难以应用,但 Taubes 定理指出它的可行性,以后应当有进一步的发展.
很多四维甚至三维空间的问题由 Seiberg－Witten不变量得到解决. 是不是所有四维的问题都可以由此解决呢？我想差得很远, 四维空间的拓扑学实在很复杂, 不可能由一两个想法全部解决. 由于复曲面是四维空间最基本的例子,任何四维空间的结构性理论都将与复结构有关,椭圆方程理论应当想办法找出可积的复结构的条件. 这样会给出重要的讯息,也将是一个困难的工作. 但可以确信的是, 低维空间的几何和拓扑息息相关. 物理学指出八维以下的空间的理论都可能有交汇的地方.
三维空间的问题是一个很基本的问题, 我想这里面有一个很重要的工具还没有完全掌握的. 这就是存在性的问题. 微分方程学常问什么时候存在解？事实上在数学发展的历史上, 一个主要的突破是找到存在性定理的证明. 我们在四维三维空间的存在性问题还没有完全解决. 我们希望微分方程能够帮忙：椭圆系统存在性运用于低维的拓扑学上会有宏大的威力. 我猜至少要几十年我们才能够将这些结构全部搞清楚. 但是可以看出微分几何会是物理、方程跟拓扑结合在一起的领域. 从前 Thurston 用黎曼曲面和三维拓扑的方法得到一个重要的几何结构存在性的定理,但他的假设使得他的定理不能概括所有三维拓扑. 二十年前我建议 Hamilton 用他的方程来创造几何结构,并解决Thurston 的问题由于Hamilton 顽强的分析能力,此事已有长足的进步. 希望在未来二十年内, Hamilton 方程能够发挥威力来解决三维甚至四维拓扑的古老问题.
偶数维空间都与复几何有关,但在四维和八维时有更丰富的几何结构.它们可以有 sp(1)和 sp(2)为和乐群的结构.而八维时更可以存在 spin(7)的结构.在七维空间则可以有 结构.他们的 Ricci 度量都等于零,而他们之间息息相关. 物理学家很重视这些具有超对称的结构,给我们带进新的观念,但是微分方程还是主要的工具. 如何证明这些结构的存在性是极为有意义的分析问题,这些自然的几何结构很有可能具有某些简单的奇异点,这些奇异点往往有自然的物理和几何意义,我们一定要解释它在整体空间的地位.
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