丘成桐院士演讲:几何学的未来发展
在研究这些结构时,我们要考虑它的模空间,一般来说,有意义的几何结构的模空间是有限维的. 同时在可能的情形下, 保持 Hausdorff 的性质. 在 Geometric invariant theory 的理论中, 引进了结构稳定的观念, 就是为了对付这个问题. 有时为了达到结构的稳定, 我们可能在原来的结构上再加其它新的构造.
二十多年前,我考虑 Calabi 猜测这个问题,解决了相当广泛的代数流形上的 Kahler Einstein 度量的存在性问题,这是重要的几何结构.当时我应用它得出代数流形的重要拓扑量的不等式,在差不多同时, 代数几何学家 Bogomolov 和 Miyaoka 利用代数稳定性理论亦可以得出类似的不等式,所 以 我 开 始 寻 找 代 数 流 形 稳 定 性 和 Kahler Einstein 度 量 的 关 系. 第 一 个 重 要 的 结 论 是Donaldson 在代数曲面和 Uhlenbeck 和我在一般复流形上的定理. 在 holomorphic vectorbundle 稳定的情形下, 我们证明它有 Hermitian Yang Mills 场, 这是一个很重要的结论, 无论在物理学上和在代数几何学上都有它的贡献. 以后李骏、郑方阳和我更利用这个定理用来解决一个重要的复曲面的问题. 因此我进一步猜测假如第一陈类可用 K?hler 的常数倍来表示, 则 K?hler- Einstein 度量的存在性和流形本身的稳定性等价, 在我的讨论班上, 这是一个主要的讨论项目. 我曾经提出一系列的研究这个问题的方法, 我的研究生例如田刚、罗华章等的博士论文都与这个问题有关, 但这个问题还待深入理解.
我认为几何稳定性理论除了对复几何外, 对一般非线性方程亦会有贡献. 我相信非线性微分方程, 几何稳定性和几何结构的交汇是一个很基本的问题, 在未来的几十年里将会有深入的互动, 更可以想象的是它跟物理学上的 renormalization flow 会有密切关系. 当结构稳定后, 我们希望将全部结构完成一个紧致空间, 因此要引进半稳定结构的观念, 而这些结构可以看做模空间的边界,也因此一般来说它们有奇异点,这种自然产生的奇异点是微分几何学里面重要的奇异点,在这些空间上, 研 究 它 们 的 几 何 结 构, 规 范 场 和 子 流 行 是很 有 意 思 的 事 情, 往 往 经 过 singularperturbation 后,我们对原来光滑的几何结构会有更深入的了解.
除了研究几何结构的模空间外, 还有规模场、子流形和全纯映射空间的模空间, 周炜良在代数子流形模空间上有伟大的贡献. 这些模空间的拓扑和陈氏类都是代数流形的重要不变量. 他们有重要的物理意义, Donaldson 的不变量是从规范场的模空间引出, 上述的弦理论在代数几何上的应用是从全纯映射的模空间得出, 如何暸解这些模空间的拓扑意义是极为重要的. 事实上, Donaldson 理论的一个重要起点在于 Hermitian Yang Mill 和 anti-self-dual connection 的等价性, 而后者在一般的四维流形亦可定义, 其模空间在 generic 的黎曼度量下最为清楚. 代数几何的工具可以计算 Donaldson 不变量. 而后者让 Donaldson 证明它是微分不变量. Donaldson 对这些模空间的了解是他的理论成功的一个原因.
代数几何学里一个最重要的问题乃是 Hodge猜测. 如何知道一个拓扑同调类可以由代数子流形来表示, 这是一个困扰了数学家大半世纪以上的问题, 它在数论上亦占一个重要地位, 在未来的世纪里它应该得到解决. 与此相关的一个极为重要的问题问：复的 vector bundle 在甚么流形下有全纯结构？及复流形什么时候存在可积的复结构？这都是极为重要的问题. 它们的模空间如何描述？Hodge 结构和 Torelli定理就是很重要的关键, 它在高维空间的推广和在 vector bundle 的意义是值得发展的方向.
弦理论引进了奇妙的对偶观念, 我们需要深入地了解其中的几何意义, 这些对偶将上述各种几何结构、规范场和子流形漂亮地连结起来而得到出乎意表的结果, 我们不可能漠视他们的重要性. 基本上, 几何学家应当有宏观的视野, 表面上不同的结构可藏有深入的联系.
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