丘成桐院士演讲:几何学的未来发展

算术几何的发展使代数几何开阔了视野, 它引进了重要的工具, 也渐渐地影响了微分几何的看法, 尤其是 Calabi-Yau 流形与算术几何的关系日益密切, 弦理论的对偶理论和算术几何的 L 函数的发展应当指日可待.

算术和几何的互动无可避免会考虑 Arakalov 几何和由此引出的微分几何问题. 有限域上的几何可以提供微妙的方法来了解一般代数流形的性质. 在这方面最著名的定理是 Mori 在有理曲线方面的著名工作. 我们希望能够从不同的角度用几何方法来了解Frobenius action.最近几年来在 Calabi-Yau 流形上的工作, 显示它在算术上的关系将会愈来愈密切. 我们需要一个通盘的考虑, 将算术几何、代数几何、微分几何、分析和弦理论的保角场理论结合在 Calabi-Yau 流形上来讨论.

Shimura 流形在算术几何和分析中有很重要的应用, 但我们对它的拓扑和种种几何性质瞭解并不清楚. 我想在这个问题上, 高维拓扑的理论会重新发现它的重要性. 举例来说, 如何决定一个流形拓扑与 Shimura variety 同胚是一个有趣的问题.

更进一步的问题是, 什么时候可以决定一个流形是某些自然结构的模空间. 研究模空间的拓扑性质需要融合几何几个不同领域的学问, 它的 intersection cohomology和 L2 cohomology 的关系就是一个例子.

微分几何经过种种的融合后将会是多姿多彩的, 但是它能否有足够丰富的结构来迎合近代物理时空量子化的需要, 这是一个意义深长的问题, 有人建议用非交换几何的架构, 有人建议碎形几何, 让我们拭目以待罢.

开始时, 我谈到几何的发展受到应用数学的影响. 在古代测量地形和建造房屋、金字塔的时候很明显地意识到平面和立体几何的重要性, 以后Kepler对二次曲线和正立体的兴趣更指出天文物理和几何的密切关系.

自从古典力学和工程学得到良好的结合以后, 很多自然界的现象, 例如水流、湍流、光波散射的种种问题都得到某些认识并引出优美的几何现象, 例如 geometric optics 和孤立子 Soliton 等理论都是很有意思的问 题,近 代 计 算 机 的 进 步 影 响 了 图 论 的 发 展, 更 引 进 了 很 多 几 何 的 观 念,而 patternrecognition, computer graphics 更是直接的用到几何的方法, 例如多维图形的剖分, 离散群和格点的分布等等, 可以见到几何学家不应忽视工程上的问题.

微分几何确是一门丰富的学问, 本文并未概括所有有意义的工作, 但已经看出21世纪的几何学将会是数学和一般科学的中心.

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