2009中科大数学分析

\begin{enumerate}
\item 判断
\begin{enumerate}
\item \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(1+2i)^n}{3^n-2^n}\]的收敛性.
\item $f$ 一致收敛的充要条件是 $f$ 把 Cauchy 列映成 Cauchy 列.
\end{enumerate}

\item 填空
\begin{enumerate}
\item $f(x)=1-x$ 在 $x=-1$ 处展开后级数的收敛点集是________;
\item $\sin(x^2)=x$ 有________个根;
\item 求
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)
\]
的和________.
\end{enumerate}
\item $f:[0,1]\to\R$ 单调递增且 $f([0,1])$ 是闭集, 证明 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续.
\item $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且
\[
\int_0^1 f(x)x^n\rd x=0,\quad n=0,1,2,\ldots,
\]
证明 $f\equiv0$.
\item 是否存在原函数 $F$, 使得 $\rd F$ 满足
\[
\rd F=\frac{x\rd y-y\rd x}{\sqrt{x^2+y^2}}.
\]
\item 设 $f:N\to N$ 且 $f^{-1}(N)$ 是有限集. 若 $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n$ 存在, 则 $\lim\limits_{n\to+\infty}x_{f(n)}$ 也存在.
\item 令 $S=\set{(x,y,z)\in\R^3|xy^2z^3=1}$
\begin{enumerate}
\item 证明 $S$ 在 $\R^3$ 上确定一张隐式曲面, 并求出一个在点 $(1,1,1)$ 附近的参数方程;
\item $S$ 是否连通? 是否紧致?
\item 对点 $q\in S$, 以 $|q|$ 表示其到原点的距离. 试求所有满足
\[
|p|=\inf_{q\in S}|q|
\]
的 $p$ 所成之集.
\end{enumerate}
\item 证明恒等式
\[
\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{2\pi|n|}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{n^2+1}.
\]
\item 令 $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\rd x$, $S=\set{(x,y,z)\in\R^3|x^2+y^2+z^2=1}$. 试用 $\Gamma(s)$ 表示第一型积分
\[
\int_S (x^2+y^2)^a\rd\sigma,
\]
其中 $a>-1$.
\end{enumerate}

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