几何化猜测(Geometrization Conjecture)

Thurston的几何化猜测说任何一个紧致的三维流形都可以自然的分解为含有几何结构的子流形. 它是关于曲面的一致化定理(uniformization theorem)在三维情形的类似推广. 它首先由William Thurston 于1982年提出, 而后又引发了诸多猜测, 比如庞加莱猜测(Poincare Conjecture) 和 Thurston 的椭圆化猜测(elliptization conjecture).

Thurston的双曲化定理(hyperbolization theorem)表明Haken流形满足几何化猜测. Thurston在他1980年的论文中给出了一个证明, 而后又有很多补充的证明.

Grigori Perelman在2003年用Ricci流+拓扑手术的方法给出了几何化猜测的证明的一个梗概.而今, 关于几何化猜测的证明有四本不同的论著. 庞加莱猜测以及球空间形式(Spherical space form conjecture)猜测都是几何化猜测的推论, 尽管关于庞加莱猜测的一些简短的证明并不能用于几何化猜测.

具体而言, 几何化猜测是这样的:
首先看两个概念

1. 一个三维流形称为是闭的如果它是紧致无边的流形.
2. 每一个闭的三维流形都有一个本原分解(prime decomposition), 即它都是一些本原三维流形的连通和(这种分解当然是唯一的除了在非定向流形时的一点小问题). 这将三维流形的研究归结为本原三维流形的研究: 即只需研究那些不能写成平凡连通和的流形.

现在来叙述Thurston的几何化猜测:
每一个定向的三维闭流形都可以沿着环切开, 使得切开后的每个子流形的内部都有一个具有有限体积的几何结构(黎曼度量).

所有的三维流形可能有8种几何体. 这些模型几何体是一个光滑、连通的流形X, 而且在其上还有一个具有紧稳定子的李群G可迁的作用.

一个模型几何体称为是极大的, 如果G是X上所有具有紧稳定子的光滑可迁作用中极大的. 有时在模型几何体的定义中也要求这一条.

流形M上的一个几何结构是从M到X/T的一个微分同胚. 其中X是一个模型几何体, 而T是G的一个离散子群, 它自由的作用在X上. 如果给定的流形上容许一个几何结构, 那么将有一个使它的模型几何体是极大的.

一个三维的模几何体X称为与几何化猜测是相关的, 如果它是极大的, 而且至少存在一个紧致流形, 其几何结构位于模型几何体是X上. Thurston将满足条件的模几何体分为8类, 它们有时也称为Thurston几何体.(注意如果不要求其商是紧致的, 那么将有不可数多的模几何体)

模几何体与Bianchi群也有一些联系, Bianchi群指三维李群. 大多数的Thurston几何体都可以通过Bianchi群上一个左不变的度量来实现. 然而 S^2×R却不能, 欧氏空间有两个不同的
Bianchi群, 而且存在不可数多个非幺模可解Bianchi群, 它们中的大多数给出具有非紧模几何体的表示.
8种Thurston模几何体是:

1. 标准球面S^3，具有常曲率+l
2. 欧氏空间E^3，具有常曲率0
3. 双曲空间H^3，具有常曲率-1
4. S^2×R
5. H^2×R
6. 特殊线性群Sl_2(R)上的整体覆盖
7. 幂零几何
8. 可解几何

本原定向三维流形可按唯一的一种极小化方法沿着环切割成片状流形, 即Seifert流形或者atoroidal, 这称为JSJ分解(JSJ decomposition), 而在几何化猜测中相应的分解不是唯一的, 因为在JSJ分解中的片状流形可能不具有有限体积.(例如, 一个环的Anosov映射下的像(仍是一个环)具有有限的可解结构(sol structure), 但是它的JSJ分解将其沿着一个环剖开成一个环与单位区间的乘积,而这个乘积的内部没有有限体积的结构.)

对于非定向流形的几何化猜测, 最简单的提法是考虑它的有向2重覆盖. 当然, 也可以直接考虑非定向流形, 但是这会额外的增加复杂度:可能需要沿着射影平面(projective plane),克莱因瓶(Klein bottles), 球(spheres)以及环面(tori)来剖分. 而且具有射影平面作为边界的流形通常没有几何结构, 这就额外地增加了一些复杂度.

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