中科大博士生资格考试方案
对 象：
所有希望能继续在中国科大数学系读博士的科大数学系在读研究生。
考试课程：
1．分析学：包含实分析、复分析、泛函分析；
2．代数学：包含群环域、模论、部分交换代数等；
3．几何拓扑：包含微分流形、代数拓扑；
4．数值计算。
注：四门课程中选择两门（可全考）。
考试时间：
在每个学期开学的第三周，第四周周末举行博士生资格考试，每门课程考试时间为4小时。
规 划：
1．两年内有四次机会，通过者取得读博士资格；不通过者不能读博，但可继续读硕士；
2．三年内必须通过资格考试且完成开题报告（口试）；
3．通过考试者可获得相应考试课程的学分。如需继续读博者，则要求修完必要的课程，达到学分要求，且各科平均成绩不得低于75分。
博士资格考试—分析学
主要参考书籍:
[1]．G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techeniques and Their Applications, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., 1999;
[2]．E. Lieb and M. Loss, 分析学（第二版），高等教育出版社，2006;
[3]．W. Rudin, 实分析与复分析，机械工业出版社，2004;
[4]．L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Companies, Inc., 1979。
考试要点:
分析部分”主要考察研究生的“大分析”基础。问题涉及实分析、复分析和泛函分析的基本概念和方法。具体地：
实分析：欧氏空间上的Lebesgue积分理论（含绝对连续函数和有界变差函数），抽象测度论和积分论（含Radon测度和Riesz 表示定理）。
复分析：单变量解析函数论的标准内容（含调和函数）。
泛函分析：赋范线性空间，Hilbert空间，线性泛函。重点是Banach 空间三大定理（Hahn-Banach定理，开映射定理和闭图像定理，一致有界定理）。
博士资格考试—代数学
主要参考书籍:
[1]．冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞编著, 近世代数引论, 中国科学技术大学出版社；
[2]．Serge Lang, Algebra, revised 3rd edition, GTM 211, Springer。
考试要点:
1．群论: [1]中第一章所有内容, 或者参考[2], 第I章, 具体内容包括: 半群和群的定义、子群和陪集分解(拉格朗日定理)、循环群、正规子群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限生成 阿贝尔群结构定理、小阶群的结构；
2．环和域: [1]中第二章, 或者参考[2], 第II, IV和V章. 具体内容包括: 环的定义, 例子和性质, 矩阵环；理想, 商环, 同态(同构)基本定理；素理想和极大理想，中国剩余定理；UFD, PID和ED；多项式环, 欧式算法, 高斯引理和Eisenstein判别法；域的扩张, 代数扩张与超越扩张；有限域理论；
3．伽罗瓦理论: [1]中第三章, 或者参考[2], 第VI章. 具体内容包括: 分裂域；可分扩张与正规扩张；伽罗瓦理论基本定理；
4．模论: [2]第III, XVI章. 具体内容包括: 模的定义, 子模和商模, 模同态, 直和和直积, 自由模([2] III.1-4)；有限生成模, 主理想整环上的有限生成模的结构定理([2] III.7)；正合列和蛇形引理([2] III.9)；张量积模([2] XVI.1-2)。
博士资格考试—微分流形与代数拓扑
微分流形：
主要参考书籍:
1．陈维桓，《微分流形初步》的前七章，第二版，高等教育出版社，2001；
2．陈省身，陈维桓，《微分几何讲义》的前六章，第二版，北京大学出版社，2001。
考试要点:
1．微分流形的定义，光滑映射，切向量，切空间；
2．张量，外微分算子；
3．单位分解定理，流形上的积分，Stokes定理；
4．单参数变换群，Frobenius定理；
5．李群，李代数，结构方程；
6．向量丛及向量丛上的联络；
7．黎曼流形简介，曲面的曲率。
代数拓扑：
主要参考书籍:
[1]．Armstrong, 基础拓扑学，北京大学出版社；
[2]．Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology, GTM 82。
考试要点:
1．连续映射、紧致性、连通性；
2．单纯形、复形；
3．基本群，Van Kampen 定理，曲面分类定理；
4．复迭空间、万有复迭空间；
5．单纯同调、简单同调群的计算；（以上部分参看[1]中相关章节）
6．de Rham 复形和上同调，Poincare对偶。
（[2]，第一章、一到五节）
博士资格考试—数值计算
主要参考书籍:
1．Numerical Analysis, D. Kincaid, W. Cheney, Wadsworth Group, 2002.第1到9章；
2．Time Dependent Problem and Difference Methods, B. Gustafsson, H. Kreiss and J. Oliger, John Wiley & Sons, 1995。第1到7章；
3．有限元方法的数学基础，王烈衡、许学军，科学出版社，2004。第1到6章；
4．Spline Functions: Basis Theory, L.L. Schumaker, Cambridge University Press, 2007. 第4, 5, 6, 7章；
5．Numerical Partial Differential Equations (finite difference methods), J.W. Thomas, 1998, Springer。
考试要点:
1．多项式插值和逼近理论，数值微分和积分，常微分方程（组）的数值解；
2．非线性方程和线性方程组的数值求解理论，矩阵特征值及奇异值分解，最小二乘问题；
3．单变量样条函数的性质、计算与逼近理论；
4．偏微分方程差分方法的基本理论与应用；
5．有限元方法：椭圆问题的变分形式，有限元空间的构造，插值误差理论及有限元的误差估计。
博士资格考试—应用数学
组合数学：
主要参考书籍:
1．潘永亮, 徐俊明，组合数学. 科学出版社，北京，2006年5月；
考试要点:
几类基本计数问题，生成函数，递推关系，容斥原理和反演公式，Pólya计数定理，（0，1）矩阵，集系的极值问题，Ramsey理论,平衡不完全区组设计和对称区组设计。
图论：
主要参考书籍:
1．徐俊明，《图论及其应用》（第二版）. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2004.8；
考试要点:
图的基本概念、直径、邻接矩阵和关联矩阵、Euler 回、Hamilton圈、树、图空间、平面图、连通度、匹配、独立集、染色理论。
运筹学：
主要参考书籍:
1．Hamdy. A. Taha, Operations Research: An Introduction (8th Edition), Prentice Hall, 2006;
2. 袁亚湘，孙文瑜，最优化理论与方法，科学出版社，1999。
考试要点:
线性规划（基本理论、单纯形方法）；网络最优化（运输问题、最短路径问题、最大流问题的模型及算法）；动态规划建模；非线性规划（最优性条件、无约束问题的常用迭代算法、二次规划求解方法、带约束问题的求解方法）。
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