- 叙述定义: 凸集, 均衡集, 有界集, 吸收集, 谱.
- 设 \beta 为拓扑向量空间 X 的局部基, 则 \beta 中的每一元都包含某一个元的闭包.
- 设 X 为无穷维拓扑向量空间, 它是可数多个有限维子空间的并, 证明: X 在自身是第一纲集.
- 设 X 是拓扑向量空间, f 为 X 上的非常值的线性泛函, 则 f 必为开映射.
- 设 X 为局部凸空间, K 为 X 的凸子集, 试证: \bar K^w=\bar K.
- 设 X 为自反的 Banach 空间, 证明对任一 f\in X^\ast, |f(x)| 在 X 的单位球面上可取得最大值.
- 如果 X 是紧致的拓扑向量空间, \set{f_n} 是 X 上可分点的连续实值函数列, 则 X 是可度量化的.
- 设 X 是 Banach 空间, 如果 T\in\beta(X), \lambda\neq0, 且 T 是紧算子, 则 \rm{dim} N(T-\lambda T) .
- 设 X 是 Banach 空间, 如果 T\in\beta(X), 证明 T 为有界线性算子的充要条件是对任意的 x_n 弱收敛到 x, 都有 Tx_n 弱收敛于 Tx.
- 设 X 是 Banach 空间, B 为 X 中的闭单位球, 试证: X 自反当且仅当 B 是弱紧的.
发表回复