关于张量代数中指标对称的一点注记

在张量运算中, 关于指标的运算尤其重要. 本文将用群论的观点来谈谈指标的对称性.

一个典型的例子

定理(参考[1]). 在局部正交标架场下, 黎曼联络1形式 $\omega_{ij}$ 是由 $\omega_i$ 唯一确定的.

证明. 假设另有联络1形式 $\tilde\omega_{ij}$, 则根据(正交标架下)结构方程
\[
\rd \omega_i=\sum_k \omega_k\wedge \omega_{ki},
\]
得到

\begin{equation}\label{eq:1}
0=\sum_k \omega_k\wedge(\omega_{ki}-\tilde\omega_{ki}).\tag{1}
\end{equation}

注意到, $\set{\omega_k}$ 构成流形的一个局部基, 于是可设
\[
\omega_{ki}-\tilde\omega_{ki}=C_{ki}^j\omega_j.
\]
将其代入到\eqref{eq:1}中, 有
\[
0=\sum_{k,j} C_{ki}^j\omega_k\wedge\omega_j=\sum_{k< j}\left(C_{ki}^j-C_{ji}^k\right)\omega_k\wedge\omega_j.
\]
由于此时 $\set{\omega_k\wedge\omega_j}_{k< j}$ 构成局部基, 故得到
\begin{equation}\label{eq:2}
C_{ki}^j=C_{ji}^k.\tag{2}
\end{equation}

另一方面, 由于 $\omega_{ki}$ 以及 $\tilde\omega_{ki}$ 都是反对称的. 于是
\begin{equation}\label{eq:3}
C_{ki}^j=-C_{ik}^j.\tag{3}
\end{equation}
我们断言 $C_{ki}^j=0$, 对任意的 $i,j,k$ 都成立.

为此, 我们做如下观察. 这也是本文的主要内容, 即用群论的观点来看指标的对称性.

首先, 让我们来探索下如何证明: 对任意的 $i,j,k$ 都有 $C_{ki}^j=0$.
为此, 基本的想法就是利用\eqref{eq:2}以及\eqref{eq:3}式不断交换指标:
\begin{equation}\label{eq:4}
C_{ki}^j=C_{ji}^k=-C_{ij}^k=-C_{kj}^i=C_{jk}^i=C_{ik}^j=-C_{ki}^j.\tag{4}
\end{equation}
由此可见, 结论成立.

一个自然的问题是, 上述试探是不是可以化简, 也就是说是否可以少轮换几次呢? 为此, 让我们以 $C_{ki}^j=0$ 为模板(因为要证明的是 $C_{ki}^j=0$), 将其 $i,j,k$ 所在位置分别编号为1,2,3. 那么我们得到如下事实:

1. 由\eqref{eq:2}得到, 交换2,3位置的指标不改变符号;
2. 由\eqref{eq:3}得到, 交换1,3位置的指标改变符号.

这样, \eqref{eq:4} 分别相当于把如下的对换依次作用到恒等变换(1):
\begin{equation}\label{eq:5}
(23), (13), (23), (13), (23), (13).\tag{5}
\end{equation}
举个例子, 第一个等号成立, 是用了交换2,3位置的指标不改变符号: 利用编号的语言, 相当于把 $\set{1,2,3}$ 这个有序组通过对换 $(23)$ 变为 $\set{1,3,2}$ 这个有序组. 其他类似可得.

于是, 现在问题变成, 为什么\eqref{eq:5}这个序列改变符号. 事实是很明显的: 因为有3次 $(23)$ 不改变符号, 而有3次 $(13)$ 改变符号, 故最终是要改变符号的. 但是同时又可看出这个序列依次作用的效果必定等于恒等变换(1), 事实上 $(23)(13)$ 是个3-轮换, 于是整体就是3个 3-轮换 的乘积当然是个恒等变换.

由此, 已经不难证明这就是最短的轮换路径了. 也即你至少要经过6次交换指标才能够证明结论成立.

结语

本文的目的是希望读者在以后遇到指标轮换时, 可以借助于群论这个基本工具进行抽象分析, 我相信这比试探法的目的性更强, 因而效率也提高了. 当然这也可以作为理解为什么数学需要不断的抽象: 只有不断抽象, 我们才把问题看得更加清楚!

参考文献

[1] 白正国, 沈一兵 等. 黎曼几何初步. 高等教育出版社, 2004. p122.