伪球面及其测地线

伪球面的参数方程及其高斯曲率

伪球面(如下图)

它是由拽物线:
\[
f(x)=\rm{ArcCosh}\left(
\frac{1}{x}\right) – \sqrt{1 – x^2},\quad x\in[0,1],
\]
绕$z$轴旋转而来.

(如右图)而所谓拽物线是满足如下”拽物方程”的曲线:
\[
y’=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},
\]
即其上每一点的切线与 $y$ 轴的交点到该点的距离为常数1. (如图中粗黑线所示)

这样伪球面的参数方程可写为:
\[
r(x,u)=\left\{x\cos u,x\sin u,\rm{ArcCosh}\left(\frac{1}{x}\right)- \sqrt{1 – x^2}\right\}.
\]
根据旋转曲面$\left\{x\cos u,x\sin u, f(x)\right\}$的高斯曲率计算公式
\[
\frac{f’f”}{x\left(1+(f’)^2\right)^2},
\]
可以得到伪球面的高斯曲率为常数-1.
它是常负曲率的一个模型, 注意到它是不完备的, 事实上Hilbert证明了$\mathbf{R}^3$中不存在完备的嵌入常负高斯曲率曲面.

伪球面的测地线

直接计算伪球面的法向$\mathbf{n}$(非单位)为:
\[
\left\{
-\sqrt{1-x^2}\cos u,-\sqrt{1-x^2}\sin u,-x\right\}.
\]
这样, 若伪球面上的曲线 $r(t)=X(x(t),u(t))$为测地线, 那么它应满足如下的测地线方程
\[
\frac{\partial^2r(t)}{\partial t^2}.\mathbf n=0
\]
将曲线方程代入并整理得到
\[
x(t)^2(x(t)^2-1)u'(t)^2+x'(t)^2=0.\tag{1}
\]
特别地, 令 $x(t)=t, t\in[0,1]$, 则可解得
\[
u(t)=\mathbf{Re}\left(
\rm{ArcCoth\sqrt{1-t^2}}\right)
=\frac{1}{2}\ln\frac{-t^2+2\sqrt{1-t^2}+2}{t^2}.
\]
于是, 我们可以具体的求出这条测地线. 作图如下:

事实上, 从测地线$X(t)$应满足的方程(1)还可看出, 伪球面上的经线和纬线都不是测地线.