李代数的伴随表示

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Abstract. 在本文中, 我将对~Petersen~的黎曼几何中p.378的引理69, 引理70给一点注记. 引理69 是说李代数的伴随表示可以用利用李括号积表出. 而引理70, 作为这个结果的推论, 给出了一般线性群这个李群的李括号积的具体表达式.


假设$G$是一个李群, 对$G$中一固定元$h$, 定义$G$的一个由$h$决定的内自同构$\alpha_h$ 如下 \begin{align*} \alpha_h\mathpunct{:}G&\to G x&\mapsto hxh^{-1}. \end{align*} 容易看出, $\alpha_h(x)=R_{h^{-1}}L_h(x)$, 因此$\alpha_h=R_{h^{-1}}L_h$.

记$\alpha_h$在单位元$e\in G$处的切映射为$\Ad(h)$. 即$\Ad(h)\mathpunct{:}T_eG\to T_eG$. 且$\Ad(h)=D\alpha_h|_e=DR_{h^{-1}}|_eDL_h|_e$. 由此, 我们又定义了一个映射$\Ad$, \begin{align*} \Ad\mathpunct{:}G&\to\GL(n,T_eG) h&\mapsto\Ad(h), \end{align*} 容易验证, 它是李群$G$与李群$\GL(n,T_eG)$之间的一个同态, 称为李群$G$的伴随表示.

再次, 由$\Ad$的切映射, 可以诱导李群$G$与李群$\GL(n,T_eG)$的李代数间的同态. 即, 定义$\ad=D\Ad|_e\mathpunct{:}T_eG\to T_I\GL(n,T_eG)$.

有了上面这些定义, 引理69是说:

Lemma1.(Lemma 69, p378) \[ \ad(u)(v)=[u,v]=[U,V]|_e, \] 其中, $u,v\in T_eG$, 而$U,V$是分别是由它们生成的左不变向量场. Proof.取$U$的一个流$F^t$, 即

\[\begin{cases} \dot F^t(g)|_{t=0}=U_g F^t(g)|_{t=0}=g. \end{cases}\] 容易看出, \begin{align*} U_g&=L_gU_e=L_g\dot F^t(e)|_{t=0} g&=L_ge=L_gF^t(e)|_{t=0}, \end{align*}

因此, $L_gF^t(e)$和$F^t(g)$有相同的初值. 从而 $F^t(g)=L_gF^t(e)$, $F^t=R_{F^t(e)}$. 现在, \begin{align*} \ad(u)v&=[D\Ad|_e(u)](v) =\left[\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(e))\right](v) &=\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(e))(v)\right] &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[DR_{F^{-t}(e)}DL_{F^t(e)}(v)\right] &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DR_{F^-t(e)}(V|_{F^t(e)}) &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DF^{-t}(V_{F^t(e)}) &=\left[L_UV\right]|_e, \end{align*} 最后一步是因为, 按照Petersen书上的定义,

\[ F^{-t}(V|_{F^t(e)})=v+t\left[L_UV\right]|_e+o(t). \]

现在, 我们将用上面引理来计算一般线性群的李代数.

首先, 我们知道, 对一个线性空间$V$, 其上的全体可逆线性变换所构成的群$\GL(n,V)$是一个李群. 而且它是$R^{n^2}$的一个开子流形. 于是其在单位元处的切空间$T_I\GL(n,V)$可以和其自身等同. 现在, 引理70是说

Lemma2.(Lemma 70, p378) 假设$x,y\in T_I\GL(n,V)$ 则: \[ [x,y]=xy-yx, \]

这里, 右边的$x,y$应看成线性变换.

Proof.设$x,y$生成的左不变向量场分别为$X,Y$. 注意$\GL(n,V)$的内自同构$\alpha_h\mathpunct{:}x\mapsto hxh^{-1}$ 是一个线性映射, 从而其切映射, 即$\Ad(h)$, 满足$\Ad(h)(x)=\alpha_h(x)=hxh^{-1}$.

其次, 由于$\GL(n,V)$是线性空间中的开集, 从而$X$的局部流为$F^t(g)=g(I+tx+o(t))$, 这里$x=X|_I$, $g\in\GL(n,V)$. 利用上面引理的结果

\begin{align*} [x,y]&=(L_XY)|_I=\ad(x)(y)=D\Ad(x)|_I(y) &=\left[\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(I))\right](y) &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(I))(y)\right] &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[F^t(I)yF^{-t}(I)\right] &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[ (I+tx+o(t))y(I-tx+o(t)) \right] &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[ y+txy-tyx+o(t) \right] &=xy-yx. \end{align*}

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Van Abel

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