$$\begin{cases} \dot F^t(g)|_{t=0}=U_g\\ F^t(g)|_{t=0}=g. \end{cases}$$
容易看出,
$$\begin{align*} U_g&=L_gU_e=L_g\dot F^t(e)|_{t=0}\\ g&=L_ge=L_gF^t(e)|_{t=0}, \end{align*}$$

因此, $L_gF^t(e)$和$F^t(g)$有相同的初值. 从而 $F^t(g)=L_gF^t(e)$, $F^t=R_{F^t(e)}$.
现在,
$$\begin{align*} \ad(u)v&=[D\Ad|_e(u)](v) =\left[\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(e))\right](v)\\ &=\left.\frac{\rd }{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(e))(v)\right]\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[DR_{F^{-t}(e)}DL_{F^t(e)}(v)\right]\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DR_{F^-t(e)}(V|_{F^t(e)})\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}DF^{-t}(V_{F^t(e)})\\ &=\left[L_UV\right]|_e, \end{align*}$$
最后一步是因为, 按照Petersen书上的定义,

$$F^{-t}(V|_{F^t(e)})=v+t\left[L_UV\right]|_e+o(t).$$

现在, 我们将用上面引理来计算一般线性群的李代数.

首先, 我们知道, 对一个线性空间$V$, 其上的全体可逆线性变换所构成的群$\GL(n,V)$是一个李群. 而且它是$R^{n^2}$的一个开子流形. 于是其在单位元处的切空间$T_I\GL(n,V)$可以和其自身等同. 现在, 引理70是说

Proof.设$x,y$生成的左不变向量场分别为$X,Y$. 注意$\GL(n,V)$的内自同构$\alpha_h\mathpunct{:}x\mapsto hxh^{-1}$ 是一个线性映射, 从而其切映射, 即$\Ad(h)$, 满足$\Ad(h)(x)=\alpha_h(x)=hxh^{-1}$.

其次, 由于$\GL(n,V)$是线性空间中的开集, 从而$X$的局部流为$F^t(g)=g(I+tx+o(t))$, 这里$x=X|_I$, $g\in\GL(n,V)$. 利用上面引理的结果

$$\begin{align*} [x,y]&=(L_XY)|_I=\ad(x)(y)=D\Ad(x)|_I(y)\\ &=\left[\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\Ad(F^t(I))\right](y)\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[\Ad(F^t(I))(y)\right]\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[F^t(I)yF^{-t}(I)\right]\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[ (I+tx+o(t))y(I-tx+o(t)) \right]\\ &=\left.\frac{\rd}{\rd t}\right|_{t=0}\left[ y+txy-tyx+o(t) \right]\\ &=xy-yx. \end{align*}$$