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Gronwall 不等式


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Theorem 1 (Gronwall 不等式). 假设 u,v:[a,b]R 是连续函数, 且 u0. 如果
v(t)C+tav(s)u(s)ds,t[a,b],
这里 C 是一个常数, 那么
v(t)Cexp(tau(s)ds).

Proof .α(t)=C+tav(s)u(s)ds, β(t)=Cexp(tau(s)ds), 则 α(a)=C=β(a), 且(α(t)β(t))=1β2(t)(αβαβ)=1β2(t)(uvβαβu)=uβ(vα), 注意到 vα0 以及 α(a)/β(a)=1, 这样, 若C>0β>0, 从而 α/β1, 即 αβ; 若 C<0, 则 β<0, 从而 α/β1, 故仍有 αβ. 若 C=0, 则可令 Cn=1/n 利用前面结果并令 n 得到 v(t)0.

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