Theorem 1 (Gronwall 不等式). 假设 u,v:[a,b]\to\R 是连续函数, 且 u\geq0. 如果
v(t)\leq C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s,\quad t\in [a,b],
这里 C 是一个常数, 那么
v(t)\leq C\exp\left( \int_a^t u(s)\rd s \right).
v(t)\leq C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s,\quad t\in [a,b],
这里 C 是一个常数, 那么
v(t)\leq C\exp\left( \int_a^t u(s)\rd s \right).
Proof . 令 \alpha(t)=C+\int_a^t v(s)u(s)\rd s, \beta(t)=C\exp\left(\int_a^t u(s)\rd s\right), 则 \alpha(a)=C=\beta(a), 且\left(\frac{\alpha(t)}{\beta(t)}\right)^\prime=\frac{1}{\beta^2(t)}(\alpha^\prime\beta-\alpha\beta^\prime)=\frac{1}{\beta^2(t)}(u v \beta-\alpha\beta u )=\frac{u}{\beta}(v-\alpha), 注意到 v-\alpha\leq 0 以及 \alpha(a)/\beta(a)=1, 这样, 若C>0 则 \beta>0, 从而 \alpha/\beta\leq 1, 即 \alpha\leq\beta; 若 C<0, 则 \beta<0, 从而 \alpha/\beta\geq 1, 故仍有 \alpha\leq \beta. 若 C=0, 则可令 C_n=1/n 利用前面结果并令 n\to\infty 得到 v(t)\leq 0.
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