Theorem 1 (Gronwall 不等式). 假设 u,v:[a,b]→R 是连续函数, 且 u≥0. 如果
v(t)≤C+∫tav(s)u(s)ds,t∈[a,b],
这里 C 是一个常数, 那么
v(t)≤Cexp(∫tau(s)ds).
v(t)≤C+∫tav(s)u(s)ds,t∈[a,b],
这里 C 是一个常数, 那么
v(t)≤Cexp(∫tau(s)ds).
Proof . 令 α(t)=C+∫tav(s)u(s)ds, β(t)=Cexp(∫tau(s)ds), 则 α(a)=C=β(a), 且(α(t)β(t))′=1β2(t)(α′β−αβ′)=1β2(t)(uvβ−αβu)=uβ(v−α), 注意到 v−α≤0 以及 α(a)/β(a)=1, 这样, 若C>0 则 β>0, 从而 α/β≤1, 即 α≤β; 若 C<0, 则 β<0, 从而 α/β≥1, 故仍有 α≤β. 若 C=0, 则可令 Cn=1/n 利用前面结果并令 n→∞ 得到 v(t)≤0.
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