$\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand{\Lp}{\Delta\,}$事实上, 假设$\rd s^2=g_{ij}\rd x^i\rd x^j$是$M^2=(\Omega,g)$上的Riemann度量. 要使$M^2$ 是共形平坦的, 那么
$$\rd s^2=g^{ij}\rd x_i\rd x_j=e^{2\lambda u}\left((\rd x_1)^2+(\rd x_2)^2\right).$$
下面, 我们用活动标架法来计算$M^2$的高斯曲率$K$.
令
$$\rd\omega_i=e^{\lambda u}\rd x_i,\quad i=1,2,$$
则, $\set{\omega_i}_{i=1,2}$是一个幺正余标架场, 且
$$\begin{align*} \rd\omega_1&=-\lambda e^{\lambda u}u_2\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda u_2\rd x_1\wedge\omega_2\\ \rd\omega_2&=\lambda e^{\lambda u}u_1\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda u_1\rd x_2\wedge\omega_1, \end{align*}$$
由幺正标架下的Cartan结构方程,
$$\begin{cases} \rd\omega_i=-\omega_{ij}\wedge\omega_j\\ \rd\omega_{ij}=-\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}+\Omega_{ij}, \end{cases}$$
其中, $\Omega_{ij}=\frac{1}{2}R_{ijkl}\omega_k\wedge\omega_l$, $R_{ijkl}=-R_{ijlk}$, 我们有
$$\omega_{12}=\lambda\left(u_2\rd x_1-u_1\rd x_2\right)=-\omega_{21}.$$
因$\omega_{12}=-\omega_{21}$, 于是由Cartan基本引理得到$\omega_{12}$是唯一的. 再次利用Cartan结构方程, 我们有
$$\rd\omega_{12}=\frac{1}{2}R_{12kl}\omega_k\wedge\omega_l=-\lambda\Lp u\rd x_1\wedge\rd x_2=-\lambda\frac{\Lp u}{e^{2\lambda u}}\omega_1\wedge\omega_2,$$
从而
$$K=R_{1212}=-\lambda\frac{\Lp u}{e^{2\lambda u}},$$
这即是说
$$\Lp u+e^{2\lambda u}K/\lambda=0.$$
最后, 令$\lambda=1/2$, 我们有
$$\Lp u+2K e^{u}=0.$$

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