期中考试1

1. • 假设$X,Y\in \R^n$, $\nabla$ 是标准欧氏度量下的Levi-Civita联络, 试求$\nabla_XY$ (用其分量表示), 并证明$\nabla$是$\R^n$中唯一一个平行的线性联络.
   • 假设$(M^n,g)$和$(N^n,h)$是两个黎曼流形, 其曲率张量分别记为$R_M$, $R_N$. 证明对任一等距$f:M\to N$, 都有
     $$\langle R_N(\rd f(X),\rd f(Y))\rd f(Z),\rd f(W)\rangle_h=\langle R_M(X,Y)Z,W\rangle_g.$$
2. • 证明任一微分流形上都存在一个完备的黎曼度量.
   • 举例说明存在一个非紧完备的黎曼流形, 其测度是有限的.
3. • 证明高斯公式.
   • 假设$(M^n,g)$是一具有负截面曲率的黎曼流形, 证明, 当$n\geq3$时它不可等距嵌入到欧氏空间$\R^{n+1}$中.
4. 假设$(M,g)$是一完备单连通的黎曼流形, 且具有非正截面曲率. 试对测地三角形证明如下的余弦不等式
   $$a^2\geq b^2+c^2-2bc\cos\angle\langle b,c\rangle.$$

期末考试2

1. 假设$\gamma:[0,a]\to M$为一最短测地线, 且$\gamma(a)$与$\gamma(b)$不共轭. 令$V$是沿着$\gamma$的一个分段光滑向量场, 而$I$为指标形式.
   • 证明存在沿$\gamma$的Jacobi场$J$, 使得$J(0)=V(0)$, $J(a)=V(a)$.
   • 证明$I(J,J)\leq I(V,V)$, 且等号成立当且仅当$J=V$.
   • 假设$\beta$是另一使得$\beta(0)$与$\beta(a)$共轭的测地线. 证明: 对任意的$\eps>0$, $\beta:[0,a+\eps]\to M$这段测地线的指数必为正.
2. 假设$(M,g)$为一完备黎曼流形, $r(x)$为$x$到基点$p$的距离.
   • 如果$x\in(M\setminus\set{p})\bigcup\mathrm{Cut}(p)$, 那么$r(x)$在$x$的一个邻域上可微, 且$\|\nabla r(x)\|=1$.
   • 假设$\gamma:[0,l]\to M$是一连接$p$与$x\in(M\setminus\set{p})\bigcup\mathrm{Cut}(p)$的正规测地线. 对任意的$v\in T_xM$, $v\perp\gamma'(l)$, 记$J_v$为沿着$\gamma$的Jacobi场, 且$J_v(0)=0$, $J_v(l)=v$. 试证明:
     $$(\mathrm{Hess})_x(v,v)=I(J_v,J_v).$$
   • 假设$M$的截面曲率$K\leq\delta$, $\delta\in\R$. $\gamma$如上问中定义, 且满足: 当$\delta>0$时, $l<\frac{\pi}{\sqrt\delta}$. 试比较$M$与截面曲率为$\delta$的空间形式$\tilde M$上距离函数的Hessian之间的关系.
3. • 假设$(M.g)$为一紧致黎曼流形, 且其截曲率$K<0$. 证明: $M$上任意两条自由同伦的闭测地线必相同.
   • 假设$M,N$是两个紧致的微分流形, 证明$M\times N$上不存在截曲率$K<0$的黎曼度量.

参考教材

1. Do Carmo, Manfredo P. Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, 1992.
2. Petersen, Peter. Riemannian geometry. Vol. 171. New York: Springer, 2006.

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Footnotes

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