最近学习X.N. Ma的Index theory, 需要点Clifford代数的知识, 在这里记录下.
Clifford代数的历史
200年来，许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示，但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。
| Clifford代数的初略历史回顾 | |
|---|---|
| 超复数系 | Hamilton, Grassmann, Clifford |
| 表示论，Lie群，Bott周期性 | E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott |
| Riemann几何 | E. Cartan, Berger |
| Dirac算子，量子场论，超对称 | Dirac, Atiyah, Singer, Witten |
回忆给定一个F-向量空间V, 其上可定义取值于数域F的二次型q:V×V→F是V×V上的双线性函数. 由此, 我们可以将其延拓到张量空间(关于张量空间的定义, 我这里refer to 1, P54-55, 它是一结合代数)T(V)=V⊗V上去, 仍记为q.
Clifford代数的定义
Definition 1. 给定数域F上的(有限维)向量空间V, 以及V上任一二次型q，则V关于q的**Clifford代数**Cl(V,q)定义为T(V)模去双边理想I={v∈V|v⊗v+q(v,v)}. 由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态, 上述定义给出(V,q)到结合代数的**Clifford函子**.
注意到如果charF≠2, 则u⋅v+v⋅u=−2q(u,v), 其中2q(u,v)=q(u+v,u+v)−q(u,u)−q(v,v)称为极化恒等式. 事实上, −2q(u,v)=−(q(u+v,u+v)−q(u,u)−q(v,v))=(u+v)⊗(u+v)−u⊗u−v⊗v=u⊗v+v⊗u=u⋅v+v⋅u. 我们事实上也可以将这一性质作为Clifford代数的定义, 即在张量代数的定义中多了一个变为零的”法则”.
Clifford代数的同构
Clifford代数附带有如下几种同构:
- 反射自同构α: 线性映射α(v)=−v的扩张;
- 转置反自同构:x↦xt, x1⊗⋯⊗xk↦xk⊗⋯x1;
- 共轭反自同构: ˉx=α(xt).
下面是2个有深刻物理背景的性质:
- Clifford代数推广了外代数: 当我们取q=0时, 此时Clifford代数就是外代数. 更一般地, T(V)在Cl(V,q)上诱导一个滤过代数结构，外代数∧(V)作为其伴随分次代数同构于Cl(V,q). Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构，就这个意义上来说它是外代数的“量子化”.. Bose子由Weyl代数描述，它是对称代数的“量子化”.
- 除滤过代数结构外, T(V)还在Cl(V,q)上诱导一个Z2分次代数结构。偶部分记为Cl0(V,q)(它是一个Clifford子代数)，奇部分记为Cl1(V,q), 它们分别对应α的正负特征子空间.
Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是基于如下优美性质: 设V=V1⊕V2是基于q的正交分解, qi=q|Vi, 则有同构Cl(V,q)≅Cl(V1,q1)ˆ⊗Cl(V2,q2), 同构映射由f:V1⊕V2→Cl(V1,q1)ˆ⊗Cl(V2,q2)诱导, 其中f(v1,v2)=v1⊗1+1⊗v2, 这里ˆ⊗为Z2分次张量积. 基于Witten等人的工作, 现在熟知这个分次结构对应超对称.
一个具体的例子
Example 1. 考察如下的Rp,q上的二次型 q(x,y)=q∑i=1xiyi−p+q∑i=p+1xiyi,
其相应的Clifford代数记为Clp,q:=Cl(Rp,q,q), Cln:=Cln,0, Cl∗n:=Cl0,n. 注意R3,1上的q恰好是Minkowski内积. 可以发现Cl0=R, Cl1=R⊕R, Cl∗1=C, Cl2=M2(R), Cl1,1=M2(R), Cl∗2=H, Cl3=M2(C), Cl∗3=H⊕H.
实Clifford代数的分类
由于任何一个实二次型都可约化到例子中的情形, 于是所有有限维实Clifford代数在同构意义下就只有形如Clp,q的形式. 问题是Clp,q是什么呢? 更一般地, 我们有
Proposition 2 (C.f. [^3). ,P175] 对任意的p,q∈N, 有 Clp+1,p+1=Clp,q⊗RM2(R),Clp+2,q=Clq,p⊗RM2(R),Clp,q+2=Clq,p⊗RH,Clp+4,q=Clp,q⊗RM2(H)=Clp,q+4,
由此, 可得如下推论
Corollary 3. 对任意的p,q∈N, 我们有 Clp+8,q=Clp,q⊗RM16(R)=Clp,q+8.
由此, 可见我们只需知道Cln,0, n=0,1,…,7便可知道所有的Clp,q. 利用前面的命题和推论以及例子并注意到H⊗RC=M2(C), 以及H⊗RH=M4(R)可得如下列表:
| n | Cln,0 | Cl0n,0 |
|---|---|---|
| 1 | R⊗R | R |
| 2 | M2(R) | C |
| 3 | M2(C) | H |
| 4 | M2(H) | H⊕H |
| 5 | M2(H⊕H) | M2(H) |
| 6 | M4(H) | M4(C) |
| 7 | M8(C) | M8(R) |
| 8 | M16(R) | M8(R⊕R) |
这样, 结合如下的Spinorial clock, 我们可以给出实Clifford代数的分类: 
Theorem 4 (实Clifford代数的分类, C.f. 2P177). 所有的有限维实Clifford代数都由Spinorial clock完全分类. 分类步骤如下:
- 首先计算m=p−qmod8, 并定位其在Spinorial clock中的位置: Am→B;
- 计算整数n, 使得dimRMn(B)=2p+q;
- 最后得到: Clp,q=Mn(B).
此外, 当n为奇数时, Clifford代数的Z2分次的偶部分Cl0p,q=Mn(A), 当n为偶数时, Cl0p,q=Mn/2(A).
参考文献
- Academic Cesspit的博客, 他主要参考了5.
- Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Vol. 94. Springer, 1971.
- Gracia-Bondía, José M., Joseph C. Várilly, and Héctor Figueroa. Lawson Jr, H. Blaine, and Marie-Louise Michelsohn. “Spin geometry, volume 38 of Princeton Mathematical Series.” (1989).
- Atiyah, Michael F., Raoul Bott, and Arnold Shapiro. “Clifford modules.” Topology 3 (1964): 3-38.
- Gracia-Bondía, José M., Joseph C. Várilly, and Héctor Figueroa. 本作品采用创作共用版权协议, 要求署名、非商业用途和保持一致. 转载本站内容必须也遵循署名-非商业用途-保持一致的创作共用协议.
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