Clifford代数

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最近学习X.N. Ma的Index theory, 需要点Clifford代数的知识, 在这里记录下.

Clifford代数的历史

200年来，许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示，但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

Clifford代数的初略历史回顾
超复数系 Hamilton, Grassmann, Clifford
表示论，Lie群，Bott周期性 E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott
Riemann几何 E. Cartan, Berger
Dirac算子，量子场论，超对称 Dirac, Atiyah, Singer, Witten

回忆给定一个$F$-向量空间$V$, 其上可定义取值于数域$F$的二次型$q:V\times V\to F$是$V\times V$上的双线性函数. 由此, 我们可以将其延拓到张量空间(关于张量空间的定义, 我这里refer to 1, P54-55, 它是一结合代数)$T(V)=V\otimes V$上去, 仍记为$q$.

Clifford代数的定义

定义 1. 给定数域$F$上的(有限维)向量空间$V$, 以及$V$上任一二次型$q$，则$V$关于$q$的**Clifford代数**$Cl(V,q)$定义为$T(V)$模去双边理想$I=\set{v\in V|v\otimes v+q(v,v)}$. 由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态, 上述定义给出$(V,q)$到结合代数的**Clifford函子**.
注意到如果$\char F\neq2$, 则$u\cdot v+v\cdot u=-2q(u,v)$, 其中$2q(u,v)=q(u+v,u+v)-q(u,u)-q(v,v)$称为极化恒等式. 事实上, \begin{align*} -2q(u,v)&=-(q(u+v,u+v)-q(u,u)-q(v,v))\\ &=(u+v)\otimes (u+v)-u\otimes u-v\otimes v\\ &=u\otimes v+v\otimes u\\ &=u\cdot v+v\cdot u. \end{align*} 我们事实上也可以将这一性质作为Clifford代数的定义, 即在张量代数的定义中多了一个变为零的”法则”.

Clifford代数的同构

Clifford代数附带有如下几种同构:

  1. 反射自同构$\alpha$: 线性映射$\alpha(v)=-v$的扩张;
  2. 转置反自同构:$x\mapsto x^t$, $x_1\otimes \cdots\otimes x_k\mapsto x_k\otimes \cdots x_1$;
  3. 共轭反自同构: $\bar x=\alpha(x^t)$.

下面是2个有深刻物理背景的性质:

  1. Clifford代数推广了外代数: 当我们取$q=0$时, 此时Clifford代数就是外代数. 更一般地, $T(V)$在$Cl(V,q)$上诱导一个滤过代数结构，外代数$\wedge(V)$作为其伴随分次代数同构于$Cl(V,q)$. Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构，就这个意义上来说它是外代数的“量子化”.. Bose子由Weyl代数描述，它是对称代数的“量子化”.
  2. 除滤过代数结构外, $T(V)$还在$Cl(V,q)$上诱导一个$\Z_2$分次代数结构。偶部分记为$Cl^0(V,q)$(它是一个Clifford子代数)，奇部分记为$Cl^1(V,q)$, 它们分别对应$\alpha$的正负特征子空间.

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是基于如下优美性质: 设$V=V_1\oplus V_2$是基于$q$的正交分解, $q_i=q|_{V_i}$, 则有同构$Cl(V,q)\cong Cl(V_1,q_1)\hat\otimes Cl(V_2,q_2)$, 同构映射由$f:V_1\oplus V_2\to Cl(V_1,q_1)\hat\otimes Cl(V_2,q_2)$诱导, 其中$f(v_1,v_2)=v_1\otimes 1+1\otimes v_2$, 这里$\hat\otimes$为$\Z_2$分次张量积. 基于Witten等人的工作, 现在熟知这个分次结构对应超对称.

一个具体的例子

例子 1. 考察如下的$\R^{p,q}$上的二次型 $$ q(x,y)=\sum_{i=1}^qx_iy_i-\sum_{i=p+1}^{p+q}x_iy_i, $$ 其相应的Clifford代数记为$Cl_{p,q}\eqdef Cl(\R^{p,q},q)$, $Cl_n\eqdef Cl_{n,0}$, $Cl_n^*\eqdef Cl_{0,n}$. 注意$R^{3,1}$上的$q$恰好是Minkowski内积. 可以发现$Cl_0=\R$, $Cl_{1}=\R\oplus \R$, $Cl_{1}^*=\C$, $Cl_{2}=M_2(\R)$, $Cl_{1,1}=M_2(\R)$, $Cl_{2}^*=\H$, $Cl_{3}=M_2(\C)$, $Cl_3^*=\H\oplus \H$.

实Clifford代数的分类

由于任何一个实二次型都可约化到例子中的情形, 于是所有有限维实Clifford代数在同构意义下就只有形如$Cl_{p,q}$的形式. 问题是$Cl_{p,q}$是什么呢? 更一般地, 我们有

命题 2 (C.f. [^3). ,P175] 对任意的$p,q\in\N$, 有 \begin{align*} Cl_{p+1,p+1}&=Cl_{p,q}\otimes_\R M_2(\R),\\ Cl_{p+2,q}&=Cl_{q,p}\otimes_\R M_2(\R),\\ Cl_{p,q+2}&=Cl_{q,p}\otimes_\R \H,\\ Cl_{p+4,q}&=Cl_{p,q}\otimes_\R M_2(\H)=Cl_{p,q+4},\\ \end{align*}

由此, 可得如下推论
推论 3. 对任意的$p,q\in\N$, 我们有 $$ Cl_{p+8,q}=Cl_{p,q}\otimes_\R M_{16}(\R)=Cl_{p,q+8}. $$

由此, 可见我们只需知道$Cl_{n,0}$, $n=0,1,\ldots,7$便可知道所有的$Cl_{p,q}$. 利用前面的命题和推论以及例子并注意到$H\otimes_\R\C=M_2(\C)$, 以及$\H\otimes_\R\H=M_4(\R)$可得如下列表:

n $Cl_{n,0}$ $Cl_{n,0}^0$
1 $\R\otimes \R$ $\R$
2 $M_2(\R)$ $\C$
3 $M_2(\C)$ $\H$
4 $M_2(\H)$ $\H\oplus \H$
5 $M_2(\H\oplus \H)$ $M_2(\H)$
6 $M_4(\H)$ $M_4(\C)$
7 $M_8(\C)$ $M_8(\R)$
8 $M_16(\R)$ $M_8(\R\oplus\R)$

这样, 结合如下的Spinorial clock, 我们可以给出实Clifford代数的分类: **Spinorial clock**:

定理 4 (实Clifford代数的分类, C.f. 2P177). 所有的有限维实Clifford代数都由Spinorial clock完全分类. 分类步骤如下:

  1. 首先计算$m=p-q\mod 8$, 并定位其在Spinorial clock中的位置: $A\xrightarrow{m}B$;
  2. 计算整数$n$, 使得$\dim_\R M_n(B)=2^{p+q}$;
  3. 最后得到: $Cl_{p,q}=M_n(B)$.

此外, 当$n$为奇数时, Clifford代数的$\Z_2$分次的偶部分$Cl_{p,q}^0=M_n(A)$, 当$n$为偶数时, $Cl_{p,q}^0=M_{n/2}(A)$.

参考文献

  1. Academic Cesspit的博客, 他主要参考了5.
  1. Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Vol. 94. Springer, 1971. ↩
  2. Gracia-Bondía, José M., Joseph C. Várilly, and Héctor Figueroa. Lawson Jr, H. Blaine, and Marie-Louise Michelsohn. “Spin geometry, volume 38 of Princeton Mathematical Series.” (1989). ↩
  3. Atiyah, Michael F., Raoul Bott, and Arnold Shapiro. “Clifford modules.” Topology 3 (1964): 3-38. ↩
  4. Gracia-Bondía, José M., Joseph C. Várilly, and Héctor Figueroa.
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