有朋自远方来 —— 专访 Mariano Giaquinta 教授

策 画 : 刘太平
访 谈 : 刘丰哲、 陈怡全
时间: 中华民国九十一年八月九日
地 点 : 中研院数学所
整 理 : 陈怡全

刘: 今天是为了「数学传播」 季刊的「有朋自远方来」 专栏而做这个访问。当然意大利是够远的!(众笑)你是位著名的数学家, 可否请你先简单地谈谈你的求学背景, 如果可能的话, 是什么将你带入数学的领域?
Giaquinta: (以下简称G) 这是一个好问题! (众笑) 高中时代, 我对于数学并不感到特别地困难。后来, 听说在比萨(Pisa) 可以学到好的数学, 我便到那儿读书。嗯… 我必须说我不是一个好学生。当时我的主要目标是尽快完成学业, 并在经济上能够独立。获得大学学位之后, 我有一段美好的时光, 因为我被大学留下来开始在比萨做研究。那时, 比萨真是个非常好的地方, 像Bombieri, De Giorgi, Stampacchia, Andreotti, Campanato, Prodi 和Vesentini* 全部在那儿。
刘: 那是什么时候?
G: 我是1966到1969就读 Pisa 大学。紧接着得到学位之后, 我先在巴黎待了一年, 然后回到比萨直到1976年, 那年我得到Modena 的教授职位。而后我在 Ferrara 待了两年, 然后到佛罗伦斯大学(The University of Florence)。六年前到比萨大学, 三年前我开始在高等师范学校(Scuola Normale Superiore) 担任教授。我认为在德国波昂大学(University of Bonn) 度过相当的时间对我而言是段很重要的经历, 我大概在德国待了二、 三年的时间, 很有收获, 因为波昂的数学研究所总让我感受到一股对人有所启发的气氛。
刘: 你可否多说一些你在比萨的那段美好的时光?
G: 那真是一段特殊的时光。那时De Giorgi 刚刚发展了极小曲面(minimal surfaces) 的理论和证明了椭圆方程(elliptic equations) 的regularity theorem; Bombieri, De Giorgi和Giusti 正给出Bernstein 问题的反例; 而同时Stampacchia 也正发展变分不等式(variational inequality) 的理论。许多有意思的技巧都是在那时发展的, 像regularity 及partial regularity 理论中的技巧, 可说是近年来发展的所有regularity 理论的模型。
刘: 当时, 你是如何接触这些优秀的人呢?
G: 经由上课和参加研讨会; 还有跟他们交谈。我记得那时不像现在有那么多的书籍, 但是那儿有着一种讨论讲述的传统。这种传统是非常正面的, 因为人们能够相当快地知道新的事情。此外, 那时对于发表论文的压力是比较小的。这些是当时文化特色的一部份。那时在比萨并没有如此多的教师, 在数学这科或许只有10位, 但现在大约有70位。所以要时时知道或许有什么事情正在发生就变得极度困难。十个人常常能相互对话, 七十个人就很难了。还有,如果有太多的研讨会, 结果就是人们连一个也没参加。假设只有两个研讨会, 那么每个人会觉得他必须去; 但如果太多的话, 你则会开始认为没有时间去参加全部的研讨会, 而决定不去任何一个。但在另一方面这样对学生是有好处的, 因为他们能学习许多不同的领域和观点。
刘: 很多年前, 我读到一篇S. Hilderbrant 写的文章, 描述在德国Oberwolfach 的一些活动。你能谈谈这个吗?
G: 从70年代中期到90年代中期, 每2年我都参加在Oberwolfach 所举行的变分学(Calculusof Variations) 会议。现在的Oberwolfach 甚至是比从前更为活跃, 且关于变分学的会议也还持续在进行中。在从前刚开始时, 与会者不多, 大部分是从事相同领域的研究。早上通常有一些演讲, 而下午则只是相互交谈, 或是讨论问题, 或是聊天, 有许多自由的时间。那是非常地有启发性。近来, 做变分学的人愈来愈多。在70年代时, Oberwolfach 的一场会议大约会有25至30个与会者, 但现今则可多达70人。结果就是在早上和下午都有很多的演讲。不过当然, 一个大型的会议总有其优点和缺点。还有我认为从70至80年代的生活是稍为闲逸的, 例如在那段期间我从来没有任何发表论文的压力。那时虽然没有太多的教职不过却够多, 所以人们有机会去得到一个工作而后再去谋得更好的职位。后来甚至变得不太困难去得到一个教职。现在呢, 有股很强的压力迫使年轻人要发表文章, 我想这是不好的。我曾跻身某些教师遴选委员会, 看到有年轻人发表四、 五十篇论文。当然总是会有些例外的人, 但是有些时候, 出版的文章看起来只像是个精练的习题或者是些只会让少数人产生兴趣的繁琐细节。我不认为这对数学而言是正面的, 因为通常太多的细节无助于对问题的了解。一个后果就是人们较少有时间去对话, 每个人只专注于他自己的问题。或许这就是为什么我们会有如此多的期刊和数以千计的论文。谁会去读这么多呢? 听起来简直是不可能。当我开始我的学术生涯时, 那时只有少数重要的期刊。人们的习惯大概是一年发表一篇论文, 每两年参加一次学术会议。现在则有好多学术会议, 而演讲者就被迫重覆相同的讲题或稍做变化。另一方面, 我了解年轻人承受到压力, 而参加会议对他们而言是个机会。对于这,我看不到好的解决方法。或许我们数学家是太多了, 我不晓得。我真的不是完全了解这样的机制, 但确定的是对年轻的数学家而言这是困难的。这也引起了些问题, 例如与其它领域的联系变得少了。数学家曾习于和物理学家、 自然科学家、 生理学家等共事, 现在我们(数学家) 或许仍与他们交谈, 但不由地我们会立刻远离他们的问题, 还是归结到我们自己的方式。这是我的感觉, 不过或许完全是错误的。
刘: 是啊! 我也与你有相同的感觉。
G: 对我而言, 这些事看起来对数学而言不是正面的。
刘: 你知道台湾年轻人通常是很难和资深的长辈说话的吗?
G: 哦, 在比萨不是那么难的。因为比萨是一个很小的城镇, 大约有10万居民且大多数不是住在市中心, 因此在市中心很多时候你会遇到的是学生和教师。他们就在那儿。譬如说我, 现在我住在佛罗伦斯, 每星期通车到比萨, 在那儿待三、 四天。当我在那儿时, 从早上八点到晚上十、 十一点我或是在我办公室、 或和某人一起工作、 或是碰见某人一起去晚餐。大多时候,这个人是同事或学生。不单是博士班学生, 大学部学生和教授们交谈也不困难。我必须说的是或许在数学方面比萨是意大利的一个特殊的地方。这有着两世纪的传统, 而其中的一个缘故或许是因为高等师范学校。这间学校网罗了—我们不能说最好, 但肯定是在意大利的一些最好的学生。事实上,这是唯一一个学生们须通过非常严峻的竞争并可得到学费和生活费的补助同时还有零用钱的地方, 当然更不用说有额外的课程, 还可以直接和教授接触。所以特别吸引好的学生, 尤其是好的数学学生。也因此, 大多数的好学生都会参加竞试以求进入本校。不过, 现今学生大概觉得大城市更具有吸引力。还有我不太确定是否所有想念数学的好学生真的来念数学了。常常, 他们选择其它不同的科目。在我念大学的时候, 就薪资而言, 成为一个数学家或工程师并无如此大的差异, 但是你以后获得的自由和你能够从事你真正喜欢做的事弥补了这种差异。现在, 不再是这样了, 在意大利大学的薪水比起例如私人企业来不是那么高。而我相信如果你数学很好, 你或许可以在工程方面一样地好, 为何不可? 没有什么理由说一个人只能在一件事上很好。事实上, 这就是我总是告诉学生的, 要他们不应把兴趣只局限在数学上, 他们应试着拓展到更广的层面。我的看法是, 如果你受到非常好的数学训练, 你一定能够成为一个好的, 比如说, 管理人才。
刘: 刚刚我提到年轻人与教授交谈有困难, 我并不是指他们没有机会去谈。他们有机会, 很多机会。通常, 这种难处来自他们自己, 他们害怕去说。
G: 哦, 这在意大利也是一样, 学生们害怕说话。他们有机会, 但是害怕。
陈: 他们害怕说话只是在谈论数学时或者是在所有的情况下都如此?
G: 我想是在所有的情况下! 一个理由或许是年龄及职位的差别。学生通常较喜好和助理而非和教授们交谈, 因为他们多少年纪相仿。我认为另一个理由是因为考试这个系统。他们晓得他们必须通过考试, 所以不愿展示自我。他们总害怕你会由此去衡量他们, 而我认为这有时候甚至也真是如此。
陈: 每次我去见我指导老师的时候, 总希望自己准备得很好。 (众笑!)
G: 不过, 身为学生, 你是会害怕的。我不能说我总是有准备的。我喜欢与人合作, 不喜欢单打独斗, 因为那比较有趣。不过我时常有些愚蠢的数学陈述或是些不正确的证明。这或许从不会发生在好的数学家身上, 但却经常发生在我身上。
陈: 你能够提一些在变分学上未解决的问题或新的研究方向吗?
G: 嗯, 变分学可说是某些问题和方法的集合, 很难指出好的待解的(good open) 方向。但我想一个主要的方向是去了解牵涉到非纯量函数(non-scalar functions) 的变分问题, 好比说像调和映射(harmonic mappings), 杨–米尔斯泛函(Yang-Mill’s functional) 及一些描述细微结构的物理模型等等的几何变分(geometric variational) 问题。这些问题的共通处是会有奇异点(singularities) 产生。这些奇异性是重要的, 有时候奇异解(singularsolutions) 甚至比平滑解(smooth solutions) 更为重要。明了这种奇异点, 它们如何产生,结构如何, 是非常重要的课题。
陈: 至于有些老的但仍旧重要的问题呢?
G: 有很多悬而未决的老问题, 例如对极小曲面的孤立(isolated) 奇异点做分类, 或是研究较高余维(co-dimensional) 的极小曲面或图形(graph)。
陈: 你提到了极小组态(minimal configuration)。为何我们总试着要找到极小组态而非定态(stationary configuration) 呢?
G: 或许是因为它比较简单吧。另外, 极小解(minimizer) 有较强的性质。例如有与物理相关的能量泛函, 其临界点(critical points) 在所有的地方都是奇异的, 然而极小解只在些较低维度的集合才是奇异的。有些时候, 极小性(minimality) 可用一些稳定性(stability) 来取代。
陈: 或许你能够解答我心中的一个问题, 为什么在物理的世界中常存在变分原理(variational principle)? 你的观点是如何呢?
G: 我想你的问题可以很多方法来回答。我们可以像从前一样说上帝以可能的最佳的方法去创造宇宙中的每个事物; 或者我们可以说数学就是如此地运作; 或者我们可以说当我们尝试去解释自然现象时, 我们寻求的是些简单的原理, 而极小原理(minimum principle) 是个非常简单的原理。
陈: 这相当像许多数学或物理学家所喜爱的所谓简约性(simplicity)…
G: 是的! 可能是相同的法则。假使我们以一个繁复的原理为基础来解释某些事情, 我们并没有解释得很多, 因为我们事实上或许是在用比要解释的事情更为复杂的事物去解释该事物。(众笑!)回到你的问题, 我想有很多、 很多的答案, 而真正的答案可能就在历史中: 变分原理已经运作了几个几世纪了。我想科学史就给了答案了, 不只在数学里, 事实上你看到更多极小原理在物理史上。说到这里, 你刚刚问我关于变分学可能的发展方向, 想想看拉格朗日(La-grangian) 和哈密尔顿(Hamiltonian) 理论, 在适当的条件下, 两者是等价的。没有了这些条件, 我们是否可用弱一点的方式去关连他们?
刘: 在意大利, 是从六岁开始上小学吗?
G: 是的, 六岁。但是有倡议改成允许五岁入小学的提案。目前孩童六岁入学, 读了五年小学后,接着是三年的初中和五年的高中。今年开始, 在大学施行新的制度: 修业三年得第一个学位,再二年得第二个学位, 然后再经三年得到博士学位。
刘: 学生在小学时只学意大利文, 或者还学其它语文?
G: 除意大利文外, 现在从三年级起, 他们开始非正式地学一种外国语文, 我想正式开始学是在初中时。有些学校可允许学生选择两种外语。课程规定在意大利的学校是非常严的, 中学里学生没有选择科目的权利, 所有的课程都是固定的。如果有教第二外语的话, 通常是在正规的课程外, 在下午加几个小时的课。过去, 学生通常是学法文, 但现在多半要求学英文。但学校里有些教法文但又不能够被裁掉的老师, 所以有些学生必须学法文! (众笑!) 但是通常学法文的学生也学英文的。结果他们学两种外国语文, 这是好事。
刘: 台湾学生在初中时开始学英文, 现在也试着在小学里办。对于这, 你的看法如何?
G: 我认为很好的。例如说在我念书时也有外语, 但主要是学历史和文学而且很少讲。学生被要求学习所有的规则和所有的例外等等。但现在情况是有改变了。我仍旧记得在法文里头的不同的规则和例外, 但是我学到的单字不多。现在每当我说法语时, 我会立即觉察到我犯了许多错误, 而我却很难表达自己。虽然我从来没学过英语, 甚至会犯比讲法语更多的错误, 但对英文我觉得有更多的信心。 (众笑!)
刘: 这话真有意思。
G: 我必须说就语言而言美国人是非常会包容的, 而法国人就不是那么包容的。
刘: 时间不多了, 我想问最后一个问题。什么是你对准备学数学的年轻学子的建言呢?
陈: 或许请给一些忠告, 有关年轻人应该尽可能多学不同的方向以增广视野或者该尽早专攻一门学问。
G: 给建言总是很难的。如果你专研一门学问, 好处是能够做得愈来愈深入, 但这也许是非常危险的事。另一方面, 年轻时一个人可以学会很多事, 年纪愈大就愈来愈难去学新的事物, 虽然经验会有些帮助。现在由于竞争激烈, 人们为了很快地发表论文, 必须很早就做专业的研究, 而学习难免占去一些做论文的时间。我认为年轻的学子应该学着两者兼顾。当然有人能够学很快, 也有能够学得又多又快非常优秀的学生, 不过也有像我这样需要时间去学习的学生。
陈: 所以, 根据经验, 每个人能够决定自己最好的学习方式。但是, 这很费时间。
G: 是啊, 很不幸地。没有规则是你可以照着去做而能得到肯定的结果的, 一切都归结于个人在生命中拥有的经验。
刘: 或许我们必须在此打住。非常谢谢你, 这真是一次非常有趣的访谈。
—本文访谈者刘丰哲为中央研究院数学所研究员, 陈怡全为博士后研究生—

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