Proof . 假设$\xi$是支在$|x|<2$的截断函数, 且$\xi\equiv1$, $\forall |x|<1$. 在方程两边同乘$\phi\in C_0^\infty$, 分部积分有
$$0=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\nabla u\cdot\nabla\phi\rd x,$$
特别, 令$\phi=\xi u$,
$$\begin{align*} 0&=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}(|\nabla u|^2\xi+u\nabla u\cdot\nabla \xi)\rd x\\ &=\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left(|\nabla u|^2\xi+|\nabla u|\xi^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{u \nabla \xi}{\xi^{\frac{1}{2}}}\right)\\ &\geq \int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left( |\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}|\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}u^2\frac{|\nabla \xi|^2}{\xi} \right)\\ &= \int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\left( \frac{1}{2}|\nabla u|^2\xi-\frac{1}{2}u^2\frac{|\nabla\xi|^2}{\xi} \right), \end{align*}$$
现在, 令$\eta=\xi^2$, 利用上式, 有
$$\begin{align*} \int_{|x| < r} e^{-\frac{|x|^2}{4}}|\nabla u|^2&\leq\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}\eta|\nabla u|^2\rd x\leq\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\frac{|\nabla\eta|^2}{\eta}\\ &=4\int e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2|\nabla\xi|^2\\ &\leq\frac{C}{r^2}\int_{r < |x| < 2r} e^{-\frac{|x|^2}{4}}u^2\rd x. \end{align*}$$
最后一步, 我们利用了截断函数的性质.