假设$(M,g)$是黎曼流形, 令$\tilde g=e^{2\phi} g$, 这里$\phi$是$M$上一个光滑函数. 这时称$(M,g)$与$(M,\tilde g)$共形.

我们感兴趣的是, 共形变换下曲率之间的关系.

活动标架

为此, 我们用活动标架法(用自然标架计算可以参考我写的Notes). 假设$\set{e_i}$是$(M,g)$的一个幺正标架场, $\set{\omega^i}$是其对偶标架场. $\nabla,\widetilde\nabla$分别表示对应于$g,\tilde g$的黎曼联络, 相应的联络1形式记为$\omega^i_j,\widetilde\omega^i_j$. (回忆, 给定一个联络$\nabla$, 以及一个局部标架场$\set{e_i}$, 联络1形式$\set{\omega^i_j}$由下式定义:$\nabla_X(e_j)=\omega^i_j(X)e_i.$)

联络1形式的关系

黎曼联络的和度量的相容性如下:

$$\widetilde \nabla_{e_i}\tilde g(e_j, e_k)= \tilde g(\widetilde \nabla_{e_i}e_j, e_k)+\tilde g(e_j, \widetilde\nabla_{e_i}e_k)$$
即
$$\nabla_{e_i}(e^{2\phi}\delta_{jk})=e^{2\phi}(\widetilde \omega^l_j(e_i)g_{lk}+\widetilde \omega^l_k(e_i)g_{jl}),$$
也即
$$2e_i(\phi)\delta_{jk}=2d\phi(e_i)\delta_{jk}=\widetilde \omega^l_j(e_i)\delta_{lk}+\widetilde \omega^l_k(e_i)\delta_{jl},$$
我们令$e_i(\phi)=\phi_i$, 则
$$\begin{equation}\label{eq:tildenotorsion} 2\phi_i\delta_{jk}=\widetilde \omega^k_j(e_i)+\widetilde \omega^j_k(e_i). \end{equation}$$
特别地, 令$\phi=0$, 则得到
$$\begin{equation}\label{eq:notorsion} 0=\omega^k_j(e_i)+\omega^j_k(e_i). \end{equation}$$
而黎曼联络的无挠性如下:
$$\nabla_{e_i}e_j-\nabla_{e_j}e_i=[e_i,e_j]=\widetilde \nabla_{e_i}e_j-\widetilde \nabla_{e_j}e_i,$$
即
$$\begin{equation}\label{eq:2} \omega^k_j(e_i)-\omega^k_i(e_j)=\widetilde \omega^k_j(e_i)-\widetilde \omega^k_i(e_j). \end{equation}$$
将$\eqref{eq:2}$的指标$i,j,k$轮换得到
$$\begin{align} \omega^i_k(e_j)-\omega^i_j(e_k)&=\widetilde \omega^i_k(e_j)-\widetilde \omega^i_j(e_k),\label{eq:3}\\ \omega^j_i(e_k)-\omega^j_k(e_i)&=\widetilde \omega^j_i(e_k)-\widetilde \omega^j_k(e_i)\label{eq:4}. \end{align}$$
将$\eqref{eq:2}$+$\eqref{eq:3}$-$\eqref{eq:4}$, 并利用$\eqref{eq:notorsion}$得到,
$$-2\omega^k_i(e_j)=\widetilde \omega^k_j(e_i)+\widetilde \omega^j_k(e_i) -\widetilde \omega^k_i(e_j)+\widetilde \omega^i_k(e_j)-\widetilde \omega^i_j(e_k)-\widetilde \omega^j_i(e_k),$$
再利用$\eqref{eq:tildenotorsion}$, 得到
$$\omega^k_i(e_j)=-\phi_i\delta_{jk}-\phi_j\delta_{ik}+\phi_k\delta_{ij}+\widetilde\omega^k_i(e_j),$$
即
$$\omega^k_i(e_j)=\widetilde\omega^k_i(e_j)- \phi_i\omega^k(e_j)-\rd\phi(e_j)\delta_{ik}+\phi_k\omega^i(e_j),$$
从而
$$\omega^k_i=\widetilde\omega^k_i- \phi_i\omega^k-\rd\phi\delta_{ik}+\phi_k\omega^i,$$
或者, 等价地
$$\widetilde\omega^i_j=\omega^i_j+ \rd\phi\delta_{ij}-\phi_i\omega^j+\phi_j\omega^i.$$

曲率2形式的关系

注意到我们始终可选取$\omega^i_j=0$在某给定点处成立, 又定义$\phi_{ij}=e_j(e_i\phi)=e_j(\phi_i)=\rd\phi_i (e_j)$, 因此$\rd\phi_i=\phi_{ij}\omega^j$. 这样根据结构方程有

$$\begin{align*} \widetilde\Omega^i_j&=\rd\tilde\omega^i_j+\tilde\omega^i_k\wedge\tilde\omega^k_j\\ &=\rd\omega^i_j-\rd\phi_i\wedge\omega^j-\phi_i\rd\omega^j+\rd\phi_j\wedge\omega^i+\phi_j\rd\omega^i\\ &\qquad+(\omega^i_k+\rd\phi\delta_{ik}-\phi_i\omega^k+\phi_k\omega^i)\wedge\\ &\quad\qquad(\omega^k_j+\rd\phi\delta_{kj}-\phi_k\omega^j+\phi_j\omega^k)\\ &=\Omega^i_j-\phi_{ik}\omega^k\wedge\omega^j+\phi_{jk}\omega^k\wedge\omega^i+\phi_i\phi_k\omega^k\wedge\omega^j\\ &\qquad+\phi_k\phi_j\omega^i\wedge\omega^k-\sum_k\phi_k^2\omega^i\wedge\omega^j\\ &=\Omega_j^i+\Bigg(-\phi_{ik}\delta_{jl}+\phi_{jk}\delta_{il}+\phi_i\phi_k\delta_{jl}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\phi_{k}\phi_j\delta_{il}-\sum_p\phi_p^2\delta_{ik}\delta_{jl}\Bigg)\omega^k\wedge\omega^l\\ &=\Omega^i_j+(\phi_{,jk}\delta_{il}-\phi_{,ik}\delta_{jl})\omega^k\wedge\omega^l. \end{align*}$$
其中, $\phi_{,ij}=\phi_{ij}-\phi_i\phi_j+\frac{1}{2}\phi_p^2\delta_{ij}$.

$(1,3)$曲率张量的关系

因为 $\Omega_j^i=\frac{1}{2}R^i_{klj}\omega^k\wedge\omega^l$, 其中 $R^i_{klj}=\omega^i(R(e_k,e_l)e_j)$ 以及 $\widetilde \Omega_j^i=\frac{1}{2}\tilde R^i_{klj}\omega^k\wedge\omega^l$, 其中 $\tilde R^i_{klj}=\omega^i(\tilde R(e_k,e_l)e_j)=\omega^i(\widetilde \nabla_{e_k}\widetilde \nabla_{e_l}e_j-\widetilde \nabla_{e_l}\widetilde \nabla_{e_k}e_j-\widetilde \nabla_{[e_k,e_l]}e_j)$,
这样, 我们得到$(1,3)$曲率张量应满足的关系:

$$\begin{equation}\label{eq:curvature13} \tilde R_{klj}^i=R^i_{klj}+(\phi_{,jk}\delta_{il}-\phi_{,jl}\delta_{ik}-\phi_{,ik}\delta_{jl}+\phi_{,il}\delta_{jk}). \end{equation}$$

$(0,4)$曲率张量的关系

由$\eqref{eq:curvature13}$, 我们容易得到其他曲率的关系:

$$\tilde R_{klij}=\tilde g_{jp}\tilde R^p_{kli} =e^{2\phi}g_{jp}\left( R^p_{kli}+(\phi_{,ik}\delta_{pl}-\phi_{,il}\delta_{pk}-\phi_{,pk}\delta_{il}+\phi_{,pl}\delta_{ik}) \right),$$
即,
$$\begin{equation}\label{eq:curvature04} \tilde R_{ijkl}=e^{2\phi}\left( R_{ijkl}+( \phi_{,ik}\delta_{jl}-\phi_{,il}\delta_{jk}-\phi_{,jk}\delta_{il}+\phi_{,jl}\delta_{ik} ) \right). \end{equation}$$
这便是$(0,4)$型曲率张量的关系.

Ricci曲率的关系

在$\eqref{eq:curvature04}$两边同时对$\tilde g^{il}$做缩并, 有

$$\begin{align*} \tilde R_{jk}&=\tilde g^{il}\tilde R_{ijkl}=e^{-2\phi}g^{il}\tilde R_{ijkl}\\ &=g^{il}\left( R_{ijkl}+( \phi_{,ik}\delta_{jl}-\phi_{,il}\delta_{jk}-\phi_{,jk}\delta_{il}+\phi_{,jl}\delta_{ik} ) \right)\\ &=R_{jk}+\left( \phi_{,ik}\delta_{ji}-\sum_i\phi_{,ii}\delta_{jk}-\phi_{,jk}\delta_{ii}+\phi_{,ji}\delta_{ik}\right)\\ &=R_{jk}+\left( \phi_{,jk}-\sum_i\phi_{,ii}\delta_{jk}-n\phi_{,jk}+\phi_{,jk}\right)\\ &=R_{jk}-\left( (n-2)\phi_{,jk}+\sum_{i}\phi_{,ii}\delta_{jk} \right). \end{align*}$$
于是我们得到Ricci曲率的关系:
$$\begin{equation}\label{eq:riccicurve} \tilde R_{jk}=R_{jk}-\left( (n-2)\phi_{,jk}+\sum_{i}\phi_{,ii}\delta_{jk} \right). \end{equation}$$

Scalar曲率的关系

再次用$\tilde g^{jk}$对$\eqref{eq:riccicurve}$做缩并, 有

$$\begin{align*} \tilde R&=\tilde g^{jk}\tilde R_{jk}=e^{-2\phi}g^{jk}\tilde R_{jk}\\ &=e^{-2\phi}g^{jk}\left( R_{jk}-\left( (n-2)\phi_{,jk}+\sum_{i}\phi_{,ii}\delta_{jk} \right) \right)\\ &=e^{-2\phi}\left( R-2(n-1)\sum_k\phi_{,kk} \right), \end{align*}$$
即
$$\begin{equation}\label{eq:scalarcurv} \tilde R=e^{-2\phi}\left( R-2(n-1)\sum_k\phi_{,kk} \right). \end{equation}$$

与Laplace的关系

最后, 注意到$\phi_{,jk}$的定义, 我们有

$$\phi_{,kk}=\phi_{kk}-\phi_k^2+\frac{1}{2}\sum_p\phi_p^2,$$
因此,
$$\sum_{k}\phi_{,kk}=\sum_k\phi_{kk}+\frac{n-2}{2}\sum_p\phi_p^2 =\Delta\phi+\frac{n-2}{2}|\nabla\phi|^2.$$
这样, $\eqref{eq:scalarcurv}$可以写成
$$\tilde R=e^{-2\phi}\left( R-2(n-1)\Delta\phi-(n-1)(n-2)|\nabla\phi|^2 \right).$$
这正是Bennett Chow的书Hamilton’s Ricci flow1中的(1.83)式.

我们顺便指出, 在$n=2$的情形, 由此立即得到该书的Exercise1.72.

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1. Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton’s Ricci flow. Vol. 77. American Mathematical Soc., 2006.